题目

设函数 y = y(x) 满足 (ln x - 1) y dx + x^2 dy = 0 (x > 0)，且 y(1) = 1。(I) 求 y = y(x) 表达式；(II) 求 y(x) 在 (0, +infty) 上的最大值。

设函数 $y = y(x)$ 满足 $(\ln x - 1) y dx + x^2 dy = 0 (x > 0)$，且 $y(1) = 1$。 (I) 求 $y = y(x)$ 表达式； (II) 求 $y(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上的最大值。

题目解答

答案

我们来逐步解决这个微分方程问题。 --- ### **题目：** 设函数 $ y = y(x) $ 满足微分方程： $$ (\ln x - 1)y\,dx + x^2\,dy = 0, \quad (x > 0) $$ 初始条件为： $$ y(1) = 1 $$ --- ## **第(I)问：求 $ y = y(x) $ 表达式** ### **第一步：整理微分方程** 原方程是： $$ (\ln x - 1)y\,dx + x^2\,dy = 0 $$ 这是一个**一阶常微分方程**，我们尝试将其整理为**可分离变量的形式**。 将方程改写为： $$ x^2\,dy = -(\ln x - 1)y\,dx $$ 两边同除以 $ yx^2 $（假设 $ y \ne 0 $）： $$ \frac{dy}{y} = -\frac{\ln x - 1}{x^2}\,dx $$ ### **第二步：两边积分** 我们分别对两边积分： $$ \int \frac{1}{y}\,dy = -\int \frac{\ln x - 1}{x^2}\,dx $$ 左边积分结果为： $$ \ln |y| + C_1 $$ 右边我们来计算： $$ \int \frac{\ln x - 1}{x^2}\,dx $$ 我们可以拆成两部分： $$ \int \frac{\ln x}{x^2}\,dx - \int \frac{1}{x^2}\,dx $$ 先计算 $ \int \frac{\ln x}{x^2}\,dx $： 使用**分部积分法**： 设 $ u = \ln x $，$ dv = \frac{1}{x^2}dx $ 则 $ du = \frac{1}{x}dx $，$ v = -\frac{1}{x} $ 所以： $$ \int \frac{\ln x}{x^2}dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2}dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} $$ 因此整个积分结果为： $$ \int \frac{\ln x - 1}{x^2}dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} - \left(-\frac{1}{x}\right) = -\frac{\ln x}{x} $$ 所以原方程积分后为： $$ \ln |y| = \frac{\ln x}{x} + C $$ （注意：原方程右边是负号，所以积分后是正号） 两边取指数： $$ |y| = e^{\frac{\ln x}{x} + C} = e^C \cdot e^{\frac{\ln x}{x}} = C_1 \cdot e^{\frac{\ln x}{x}}, \quad (C_1 = e^C > 0) $$ 去掉绝对值（因为 $ y(1) = 1 > 0 $，所以我们可以取正号）： $$ y = C_1 \cdot e^{\frac{\ln x}{x}} $$ ### **第三步：代入初始条件求常数** 已知 $ y(1) = 1 $，代入上式： $$ 1 = C_1 \cdot e^{\frac{\ln 1}{1}} = C_1 \cdot e^0 = C_1 $$ 所以 $ C_1 = 1 $ ### **最终解为：** $$ \boxed{y(x) = e^{\frac{\ln x}{x}}} $$ --- ## **第(II)问：求 $ y(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上的最大值** 我们已经得到函数： $$ y(x) = e^{\frac{\ln x}{x}} $$ 我们考虑函数： $$ f(x) = \frac{\ln x}{x} $$ 因为指数函数是单调递增的，所以 $ y(x) = e^{f(x)} $ 的最大值等价于 $ f(x) $ 的最大值。 ### **第一步：求 $ f(x) = \frac{\ln x}{x} $ 的极值** 对 $ f(x) $ 求导： $$ f'(x) = \frac{1 \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} $$ 令导数为 0： $$ f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e $$ ### **第二步：判断极值类型** - 当 $ x < e $，$ \ln x < 1 \Rightarrow f'(x) > 0 $ - 当 $ x > e $，$ \ln x > 1 \Rightarrow f'(x) < 0 $ 所以 $ f(x) $ 在 $ x = e $ 处取得**极大值**。 ### **第三步：求最大值** $$ f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} $$ 所以： $$ \max_{x > 0} y(x) = e^{f(e)} = e^{1/e} $$ --- ### **最终答案：** **(I)** 函数表达式为： $$ \boxed{y(x) = e^{\frac{\ln x}{x}}} $$ **(II)** 最大值为： $$ \boxed{e^{1/e}} $$

解析

考查要点：本题主要考查一阶常微分方程的解法以及函数极值的求解方法。
解题思路：

  1. 第(I)问：将微分方程整理为可分离变量的形式，分别对两边积分，利用分部积分法计算右侧积分，最后代入初始条件确定常数。
  2. 第(II)问：将函数表达式转化为指数形式，通过分析指数函数的单调性，转化为求指数内函数的最大值，利用导数法确定极值点。
    关键点：
  • 分部积分法的应用是积分步骤的核心。
  • 极值存在的判定需通过导数符号变化判断极大值。

第(I)问：求 $y = y(x)$ 表达式

整理微分方程

原方程：
$(\ln x - 1)y\,dx + x^2\,dy = 0$
改写为：
$x^2\,dy = -(\ln x - 1)y\,dx$
两边同除以 $yx^2$：
$\frac{dy}{y} = -\frac{\ln x - 1}{x^2}\,dx$

两边积分

左边积分：
$\int \frac{1}{y}\,dy = \ln |y| + C_1$
右边积分：
$-\int \frac{\ln x - 1}{x^2}\,dx$
拆分为两部分：
$-\left( \int \frac{\ln x}{x^2}\,dx - \int \frac{1}{x^2}\,dx \right)$
分部积分计算 $\int \frac{\ln x}{x^2}\,dx$：
设 $u = \ln x$，$dv = \frac{1}{x^2}dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = -\frac{1}{x}$，得：
$-\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}$
因此，右边积分结果为：
$-\left( -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \right) = \frac{\ln x}{x}$

代入初始条件

积分后得：
$\ln |y| = \frac{\ln x}{x} + C$
取指数并代入 $y(1) = 1$：
$1 = C_1 \cdot e^{\frac{\ln 1}{1}} \Rightarrow C_1 = 1$
最终解为：
$y(x) = e^{\frac{\ln x}{x}}$

第(II)问：求 $y(x)$ 的最大值

分析函数形式

$y(x) = e^{\frac{\ln x}{x}}$
因指数函数单调递增，只需求 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ 的最大值。

求导找极值

$f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$
令 $f'(x) = 0$，得 $x = e$。

判断极值类型

  • 当 $x < e$ 时，$f'(x) > 0$；
  • 当 $x > e$ 时，$f'(x) < 0$。
    故 $x = e$ 是极大值点。

计算最大值

$f(e) = \frac{1}{e} \quad \Rightarrow \quad y(e) = e^{1/e}$