题目

5 求以 y = C_(1) e^x + C_(2) e^2x 为通解的微分方程。

5 求以 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2x}$ 为通解的微分方程。

题目解答

答案

已知通解 $ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} $，特征根为 $ r_1 = 1 $ 和 $ r_2 = 2 $。 构造特征方程： \[ (r - 1)(r - 2) = 0 \implies r^2 - 3r + 2 = 0 \] 对应微分方程为： \[ \boxed{y'' - 3y' + 2y = 0} \]

解析

考查要点：本题主要考查根据通解构造对应的二阶常系数齐次微分方程的能力，核心在于特征方程的构造。

解题思路：

  1. 识别通解形式：通解由两个指数函数线性组合而成，对应特征方程的两个不同实根。

  2. 确定特征根：指数函数的指数部分分别为 $e^{x}$ 和 $e^{2x}$，对应特征根 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 2$。

  3. 构造特征方程：根据特征根写出特征方程 $(r - 1)(r - 2) = 0$，展开后得到 $r^2 - 3r + 2 = 0$。

  4. 转化为微分方程：将特征方程中的 $r^k$ 替换为对应的导数项 $y^{(k)}$，得到最终微分方程。

  5. 确定特征根
    通解中的指数项 $e^{x}$ 和 $e^{2x}$ 对应特征根 $r_1 = 1$ 和 $r_2 = 2$。

  6. 构造特征方程
    根据特征根，特征方程为：
    $(r - 1)(r - 2) = 0$
    展开后得到：
    $r^2 - 3r + 2 = 0$

  7. 转化为微分方程
    将特征方程中的 $r^2$ 替换为 $y''$，$r$ 替换为 $y'$，常数项对应 $y$，得到：
    $y'' - 3y' + 2y = 0$