题目
五、证明题(本大题共8分)21.证明:当x>0时，e^x-ln(1+x)-1>xln(1+x).
五、证明题(本大题共8分)
21.证明:当x>0时，$e^{x}-\ln(1+x)-1>x\ln(1+x).$
题目解答
答案
定义函数 $f(x) = e^x - (x+1)\ln(1+x) - 1$，求导得
\[
f'(x) = e^x - \ln(1+x) - 1.
\]
令 $g(x) = e^x - \ln(1+x) - 1$，则
\[
g'(x) = e^x - \frac{1}{1+x}.
\]
对于 $x > 0$，有 $e^x > 1$ 和 $\frac{1}{1+x} < 1$，故 $g'(x) > 0$，即 $g(x)$ 单调递增。
又 $g(0) = 0$，则 $g(x) > 0$ 对 $x > 0$，即 $f'(x) > 0$，
因此 $f(x)$ 在 $x > 0$ 时单调递增。
而 $f(0) = 0$，故 $f(x) > 0$ 对 $x > 0$，
即 $e^x - \ln(1+x) - 1 > x\ln(1+x)$。
\[
\boxed{e^x - \ln(1+x) - 1 > x \ln(1+x)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数的单调性分析和辅助函数的构造。
解题核心思路：
- 构造辅助函数：将原不等式转化为函数形式，通过分析函数的单调性来证明其符号。
- 多次求导：通过求导判断函数的单调性，进而推导出原不等式的成立。
- 关键点：通过导数符号确定函数单调性，结合初始条件（如函数值在$x=0$处的值）得出结论。
破题关键：
- 定义函数$f(x)$：将原不等式整理为$f(x) > 0$的形式。
- 分析$f(x)$的导数$f'(x)$：进一步构造$g(x) = f'(x)$，通过分析$g(x)$的单调性确定$f'(x)$的符号，最终确定$f(x)$的单调性。
步骤1：构造辅助函数
定义函数
$f(x) = e^x - (x+1)\ln(1+x) - 1$
原不等式等价于证明$f(x) > 0$（当$x > 0$时）。
步骤2：求导分析单调性
计算$f(x)$的一阶导数：
$f'(x) = e^x - \ln(1+x) - 1$
令$g(x) = f'(x)$，则需分析$g(x)$的单调性。
步骤3：分析$g(x)$的导数
计算$g(x)$的导数：
$g'(x) = e^x - \frac{1}{1+x}$
关键结论：
- 当$x > 0$时，$e^x > 1$且$\frac{1}{1+x} < 1$，因此$g'(x) = e^x - \frac{1}{1+x} > 0$。
- $g(x)$在$x > 0$时单调递增。
步骤4：确定$g(x)$的符号
- $g(0) = e^0 - \ln(1+0) - 1 = 0$。
- 因为$g(x)$单调递增且$g(0) = 0$，所以当$x > 0$时，$g(x) > 0$，即$f'(x) > 0$。
步骤5：确定$f(x)$的单调性
- $f'(x) > 0$说明$f(x)$在$x > 0$时单调递增。
- $f(0) = e^0 - (0+1)\ln(1+0) - 1 = 0$。
- 因此，当$x > 0$时，$f(x) > f(0) = 0$，即原不等式成立。