【例4】已知函数f(x)在[-1,2]上连续，且int_(-1)^0f(x)dx=2，int_(0)^1f(2x)dx=1，则int_(-1)^2f(x)dx=（）A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查定积分的性质以及换元法在定积分计算中的应用。解题的关键思路是先通过换元法求出$\int_{0}^{2}f(x)dx$的值，再利用定积分的可加性求出$\int_{-1}^{2}f(x)dx$。

1. 求$\int_{0}^{2}f(x)dx$的值：
   已知$\int_{0}^{1}f(2x)dx = 1$，令$t = 2x$，则$dt = 2dx$，当$x = 0$时，$t = 2\times0 = 0$；当$x = 1$时，$t = 2\times1 = 2$。
   此时$dx=\frac{1}{2}dt$，那么$\int_{0}^{1}f(2x)dx$可转化为$\int_{0}^{2}f(t)\cdot\frac{1}{2}dt$。
   根据定积分的性质$\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数），可得$\int_{0}^{2}f(t)\cdot\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(t)dt$。
   因为定积分的值与积分变量的符号无关，即$\int_{0}^{2}f(t)dt=\int_{0}^{2}f(x)dx$，所以$\frac{1}{2}\int_{0}^{2}f(x)dx = 1$。
   等式两边同时乘以$2$，解得$\int_{0}^{2}f(x)dx = 2$。
2. 求$\int_{-1}^{2}f(x)dx$的值：
   根据定积分的可加性$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$（$a\lt b\lt c$），可得$\int_{-1}^{2}f(x)dx = \int_{-1}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{2}f(x)dx$。
   已知$\int_{-1}^{0}f(x)dx = 2$，$\int_{0}^{2}f(x)dx = 2$，将其代入上式可得：
   $\int_{-1}^{2}f(x)dx = 2 + 2 = 4$。