题目
设方阵 A 满足 ^2+A-3E=0 证明 ^2+A-3E=0 可逆并求其逆矩阵
设方阵 A 满足 
证明 
可逆并求其逆矩阵
题目解答
答案
由题意得
方阵 A 满足
对上式进行化简得到
再进行因式分解得到
等式两边同除以-3得到
所以 可逆，其逆矩阵是
解析
步骤 1：方程变形
由题意，方阵 A 满足 ${A}^{2}+A-3E=0$。我们首先对这个方程进行变形，以便于后续的因式分解。
步骤 2：因式分解
将方程变形为 $(A-2E)(A+3E)=-3E$，这一步是通过将方程两边同时减去6E，然后进行因式分解得到的。
步骤 3：求逆矩阵
根据矩阵乘法的性质，如果两个矩阵的乘积为单位矩阵E，那么这两个矩阵互为逆矩阵。因此，我们可以通过等式 $(A-2E)(A+3E)=-3E$ 来求出A-2E的逆矩阵。
由题意，方阵 A 满足 ${A}^{2}+A-3E=0$。我们首先对这个方程进行变形，以便于后续的因式分解。
步骤 2：因式分解
将方程变形为 $(A-2E)(A+3E)=-3E$，这一步是通过将方程两边同时减去6E，然后进行因式分解得到的。
步骤 3：求逆矩阵
根据矩阵乘法的性质，如果两个矩阵的乘积为单位矩阵E，那么这两个矩阵互为逆矩阵。因此，我们可以通过等式 $(A-2E)(A+3E)=-3E$ 来求出A-2E的逆矩阵。