题目

设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，且满足E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=（）bigcirc 1bigcirc 2bigcirc 1或2bigcirc 值无法确定

设随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，且满足E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=（） $\bigcirc$ 1 $\bigcirc$ 2 $\bigcirc$ 1或2 $\bigcirc$ 值无法确定

题目解答

答案

展开并利用期望性质： \[ E[(X-1)(X-2)] = E[X^2 - 3X + 2] = E[X^2] - 3E[X] + 2 \] 由泊松分布性质 $E[X] = \lambda$，$D(X) = \lambda$，得： \[ E[X^2] = D(X) + (E[X])^2 = \lambda + \lambda^2 \] 代入得： \[ \lambda + \lambda^2 - 3\lambda + 2 = \lambda^2 - 2\lambda + 2 = 1 \] 解方程： \[ \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 \implies (\lambda - 1)^2 = 0 \implies \lambda = 1 \] **答案：** $\boxed{1}$

解析

本题主要考察泊松分布的期望与方差性质，以及利用期望的线性性质计算随机变量函数的期望期望**。
泊松分布的核心性质：若$X\sim P(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$，且$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=\lambda+\lambda^2$。

关键步骤：

  1. 展开随机变量函数
    先将$(X-1)(X-2)$展开：
    $(X-1)(X-2)=X^2-3X+2$
    根据期望的线性性质$E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$，得：
    $E[(X-1)(X-2)]=E(X^2)-3E(X)+2$

  2. 代入泊松分布的期望与方差
    由泊松分布性质：$E(X)=\lambda$，$E(X^2)=\lambda+\lambda^2$，代入上式：
    $E[(X-1)(X-2)]=(\lambda+\lambda^2)-3\lambda+2=\lambda^2-2\lambda+2$

  3. 解方程求$\lambda$
    已知$E[(X-1)(X-2)]=1$，则：
    $\lambda^2-2\lambda+2=1\implies\lambda^2-2\lambda+1=0\implies(\lambda-1)^2=0$
    解得$\lambda=1$。