题目
证明：当0<a<b<π时，bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.
证明：当
题目解答
答案
令：
于是有：
又：
显然当
因此：
所以：函数
又：
所以：当
因此：
所以：当
即：
命题得证。
解析
步骤 1：定义函数
定义函数 $f(x) = x\sin x + 2\cos x + \pi x$，我们需要证明当 $0 < a < b < \pi$ 时，$f(b) > f(a)$。
步骤 2：求导数
求 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$，得到 $f'(x) = \sin x + x\cos x - 2\sin x + \pi = x\cos x - \sin x + \pi$。
步骤 3：求二阶导数
求 $f'(x)$ 的导数，即 $f''(x)$，得到 $f''(x) = \cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x$。
步骤 4：分析二阶导数
当 $x \in (0, \pi)$ 时，$x\sin x > 0$，因此 $f''(x) = -x\sin x < 0$，说明 $f'(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递减。
步骤 5：分析一阶导数
由于 $f'(0) = \pi$，$f'(\pi) = 0$，因此当 $x \in (0, \pi)$ 时，$f'(x) > 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递增。
步骤 6：结论
由于 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递增，因此当 $0 < a < b < \pi$ 时，$f(b) > f(a)$，即 $b\sin b + 2\cos b + \pi b > a\sin a + 2\cos a + \pi a$。
定义函数 $f(x) = x\sin x + 2\cos x + \pi x$，我们需要证明当 $0 < a < b < \pi$ 时，$f(b) > f(a)$。
步骤 2：求导数
求 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$，得到 $f'(x) = \sin x + x\cos x - 2\sin x + \pi = x\cos x - \sin x + \pi$。
步骤 3：求二阶导数
求 $f'(x)$ 的导数，即 $f''(x)$，得到 $f''(x) = \cos x - x\sin x - \cos x = -x\sin x$。
步骤 4：分析二阶导数
当 $x \in (0, \pi)$ 时，$x\sin x > 0$，因此 $f''(x) = -x\sin x < 0$，说明 $f'(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递减。
步骤 5：分析一阶导数
由于 $f'(0) = \pi$，$f'(\pi) = 0$，因此当 $x \in (0, \pi)$ 时，$f'(x) > 0$，说明 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递增。
步骤 6：结论
由于 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 上单调递增，因此当 $0 < a < b < \pi$ 时，$f(b) > f(a)$，即 $b\sin b + 2\cos b + \pi b > a\sin a + 2\cos a + \pi a$。