题目

1.设f(x)=x^3+1,f[g(x)]=1+x,求g(x)及其定义域.

1.设$f(x)=x^{3}+1,f[g(x)]=1+x$,求g(x)及其定义域.

题目解答

答案

已知 $ f(x) = x^3 + 1 $，则 \[ f[g(x)] = [g(x)]^3 + 1 = 1 + x. \] 解得 \[ [g(x)]^3 = x, \] 取立方根得 \[ g(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}. \] 由于立方根函数对所有实数都有定义， **答案：** \[ \boxed{g(x) = x^{\frac{1}{3}}, \text{定义域：} \mathbb{R}} \] 或 \[ \boxed{g(x) = \sqrt[3]{x}, \text{定义域：} (-\infty, +\infty)}. \]

解析

考查要点：本题主要考查函数的复合运算及反函数的基本概念，需要学生理解如何通过已知的复合函数表达式求解原函数，并确定其定义域。

解题核心思路：

  1. 函数复合：将$f[g(x)]$展开为$[g(x)]^3 + 1$，与题目给出的等式$1 + x$联立。
  2. 解方程：通过代数变形解出$g(x)$的表达式。
  3. 定义域分析：根据$g(x)$的表达式形式，判断其定义域范围。

破题关键点：

  • 立方根运算：通过对方程两边取立方根，直接得到$g(x)$的表达式。
  • 立方根函数的性质：立方根函数在实数范围内对所有$x$有定义，因此定义域为全体实数。

  1. 写出复合函数表达式
    根据题意，$f[g(x)] = [g(x)]^3 + 1$，而题目给出$f[g(x)] = 1 + x$，因此有：
    $[g(x)]^3 + 1 = 1 + x.$

  2. 解方程求$g(x)$
    将等式两边减1，得到：
    $[g(x)]^3 = x.$
    对方程两边取立方根，得：
    $g(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}.$

  3. 确定定义域
    立方根函数$\sqrt[3]{x}$对所有实数$x$都有定义，因此$g(x)$的定义域为全体实数$\mathbb{R}$，即$(-\infty, +\infty)$。