x 4 0-|||-已知 2 -1 0 =0,则 x= __-|||-3 5 x +2

考查要点：本题主要考查三阶行列式的计算以及解一元二次方程的能力。关键在于正确展开行列式并找到方程的解。

解题思路：

1. 观察行列式结构：第三列有两个0，优先选择按第三列展开，简化计算。
2. 展开行列式：利用代数余子式展开，仅需计算非零元素对应的余子式。
3. 建立方程：将展开后的表达式设为0，解关于x的二次方程。

破题关键：

• 按第三列展开，减少计算量。
• 正确计算余子式，避免符号错误。
• 因式分解或求根公式求解二次方程。

按第三列展开行列式：
原行列式为：
$\begin{vmatrix} x & 4 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & x+2 \end{vmatrix}$

第三列元素为 $0, 0, x+2$，展开后仅第三项非零：
$0 \cdot A_{13} + 0 \cdot A_{23} + (x+2) \cdot A_{33}$

其中，代数余子式 $A_{33}$ 为去掉第三行第三列后的子行列式：
$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} x & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$

计算子行列式：
$\begin{vmatrix} x & 4 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = x \cdot (-1) - 4 \cdot 2 = -x - 8$

因此，原行列式为：
$(x+2)(-x - 8) = 0$

解方程：
令 $(x+2)(-x - 8) = 0$，解得：
$x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \\ -x - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8$