题目

24. (4.0分) A,B 为 3 阶 方 阵 ，|A|=2，A^3-ABA-2E=0，则|A-B|=____。

24. (4.0分) A,B 为 3 阶 方 阵 ，|A|=2，$A^{3}-ABA-2E=0$，则|A-B|=____。

题目解答

答案

由已知条件 $A^3 - ABA - 2E = 0$，可得 \[ A^3 - ABA = 2E. \] 提取 $A$ 得 \[ A(A^2 - BA) = 2E. \] 取行列式并利用 $|A| = 2$，得 \[ |A||A^2 - BA| = 8 \implies 2|A^2 - BA| = 8 \implies |A^2 - BA| = 4. \] 注意到 $A^2 - BA = A(A - B)$，则 \[ |A||A - B| = 4 \implies 2|A - B| = 4 \implies |A - B| = 2. \] 或者，可将原方程改写为 \[ A(A - B)A = 2E, \] 取行列式得 \[ |A|^2 |A - B| = 8 \implies 4 |A - B| = 8 \implies |A - B| = 2. \] 因此，答案为 $\boxed{2}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形、行列式的性质以及矩阵乘法的分解技巧。关键在于如何将给定的矩阵方程转化为与目标行列式相关联的表达式。

解题核心思路：

  1. 提取公因子：将原方程中的公共因子提取出来，简化表达式。
  2. 行列式性质：利用行列式的乘积性质，将方程两边取行列式，建立方程。
  3. 矩阵分解：将复杂的矩阵表达式分解为与目标行列式相关的乘积形式，结合已知条件求解。

破题关键点：

  • 正确分解矩阵表达式：将 $A^2 - BA$ 分解为 $(A - B)A$，注意矩阵乘法的顺序。
  • 灵活应用行列式性质：通过行列式的乘积性质，将问题转化为关于 $|A - B|$ 的方程。

步骤1：整理原方程
已知 $A^3 - ABA - 2E = 0$，移项得：
$A^3 - ABA = 2E.$

步骤2：提取公因子
左边提取公因子 $A$，得：
$A(A^2 - BA) = 2E.$

步骤3：取行列式
对等式两边取行列式，利用 $|XY| = |X||Y|$，得：
$|A| \cdot |A^2 - BA| = |2E|.$
由于 $|2E| = 2^3 = 8$，且 $|A| = 2$，代入得：
$2 \cdot |A^2 - BA| = 8 \implies |A^2 - BA| = 4.$

步骤4：分解矩阵表达式
将 $A^2 - BA$ 分解为 $(A - B)A$，即：
$A^2 - BA = (A - B)A.$
因此，原行列式可表示为：
$|(A - B)A| = |A - B| \cdot |A| = |A - B| \cdot 2.$

步骤5：建立方程求解
根据 $|A^2 - BA| = 4$，代入分解结果：
$2 \cdot |A - B| = 4 \implies |A - B| = 2.$