题目
如图所示的函数f(x)，观察下列极限是否存在，若存在，写出函数极限。f(x)f(x)f(x)f(x)对每个f(x)f(x)
如图所示的函数
，观察下列极限是否存在，若存在，写出函数极限。
对每个
题目解答
答案
根据题意可知：
函数图像如下图所示：
由图可知：
所以
所以
所以
所以
不存在
由图可知在
内，函数连续，所以极限值必定存在且等于函数值。
所以
解析
步骤 1：分析 $\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$
从图中可以看出，当$x$从正方向接近$0$时，$f(x)$的值接近$0$；当$x$从负方向接近$0$时，$f(x)$的值也接近$0$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$存在且等于$0$。
步骤 2：分析 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$
从图中可以看出，当$x$从正方向接近$1$时，$f(x)$的值接近$0$；当$x$从负方向接近$1$时，$f(x)$的值接近$-1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$不存在，因为左右极限不相等。
步骤 3：分析 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$，其中$0\lt {x}_{0}\lt 1$
从图中可以看出，在$0\lt {x}_{0}\lt 1$的区间内，函数$f(x)$是连续的。因此，对于每个${x}_{0}$，$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$存在且等于$f({x}_{0})$。
从图中可以看出，当$x$从正方向接近$0$时，$f(x)$的值接近$0$；当$x$从负方向接近$0$时，$f(x)$的值也接近$0$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$存在且等于$0$。
步骤 2：分析 $\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$
从图中可以看出，当$x$从正方向接近$1$时，$f(x)$的值接近$0$；当$x$从负方向接近$1$时，$f(x)$的值接近$-1$。因此，$\lim _{x\rightarrow 1}f(x)$不存在，因为左右极限不相等。
步骤 3：分析 $\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$，其中$0\lt {x}_{0}\lt 1$
从图中可以看出，在$0\lt {x}_{0}\lt 1$的区间内，函数$f(x)$是连续的。因此，对于每个${x}_{0}$，$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$存在且等于$f({x}_{0})$。