如图所示，天文观测台有一半径为R的半球形屋面，有一冰块从光滑屋面的最高点由静止沿屋面滑下，若摩擦力略去不计，求此冰块离开屋面的位置以及在该位置时的速度。

考查要点：本题主要考查机械能守恒定律和圆周运动的向心力分析。
解题思路：

1. 机械能守恒：冰块下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。利用动能定理求出任意位置的速度。
2. 离面条件：当屋面对冰块的支持力为零时，冰块离开屋面。此时重力的径向分量提供向心力，结合速度表达式求解对应角度θ。
   关键点：

• 正确建立动能定理方程，明确高度变化与角度θ的关系。
• 分析离面瞬间的受力，将重力分解为径向和切向分量。

步骤1：应用动能定理求速度

冰块从最高点滑到θ位置时，重力势能的减少量转化为动能：
$mgR(1-\sin\theta) = \frac{1}{2}mv^2$
解得速度为：
$v = \sqrt{2gR(1-\sin\theta)}$

步骤2：分析离面条件

当冰块离开屋面时，支持力$N=0$，此时重力的径向分量提供向心力：
$mg\cos\theta = m\frac{v^2}{R}$
将速度$v^2 = 2gR(1-\sin\theta)$代入，得：
$\cos\theta = 2(1-\sin\theta)$

步骤3：解方程求角度θ

利用三角恒等式$\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta}$代入方程，解得：
$\sin\theta = \frac{3}{5}$
对应角度为：
$\theta = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$

步骤4：求离面时的速度

将$\sin\theta = \frac{3}{5}$代入速度公式：
$v = \sqrt{2gR\left(1-\frac{3}{5}\right)} = \sqrt{\frac{4gR}{5}} = \frac{2\sqrt{gR}}{\sqrt{5}}$