设 (x)=ln (x+1)-x 则f(x)在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的 =

拉格朗日中值定理的核心是：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，则存在一点$\xi \in (a,b)$，使得$f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。本题的关键在于：

1. 验证条件：确认$f(x)$在$[0,1]$上连续且可导；
2. 计算平均变化率：求$\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$；
3. 建立方程：通过$f'(\xi) =$平均变化率求解$\xi$；
4. 验证解的范围：确保$\xi \in (0,1)$。

步骤1：验证定理条件

• 连续性：$\ln(x+1)$在$x>-1$时连续，$x$在$\mathbb{R}$上连续，故$f(x)=\ln(x+1)-x$在$[0,1]$上连续。
• 可导性：$\ln(x+1)$和$x$在$x>-1$时可导，故$f(x)$在$(0,1)$内可导。

步骤2：计算平均变化率

$\frac{f(1)-f(0)}{1-0} = \frac{(\ln 2 -1) - 0}{1} = \ln 2 -1.$

步骤3：求导并建立方程

求$f(x)$的导数：
$f'(x) = \frac{1}{x+1} -1.$
根据定理，存在$\xi \in (0,1)$使得：
$\frac{1}{\xi +1} -1 = \ln 2 -1.$

步骤4：解方程求$\xi$

1. 两边加1：
   $\frac{1}{\xi +1} = \ln 2.$
2. 取倒数：
   $\xi +1 = \frac{1}{\ln 2}.$
3. 解得：
   $\xi = \frac{1}{\ln 2} -1.$

步骤5：验证$\xi$的范围

计算$\frac{1}{\ln 2} \approx 1.4427$，故$\xi \approx 0.4427 \in (0,1)$，满足条件。