题目
1.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解：(a) max z=2x_(1)-x_(2)+2x_(3) (b) min z=2x_(1)+3x_(2)+x_(3)s.t.}x_(1)+x_(2)+x_(3)geqslant6-2x_(1)+x_(3)geqslant22x_(2)-x_(3)geqslant0x_(1),x_(2),x_(3)geqslant0s.t.}x_(1)+4x_(2)+2x_(3)geqslant83x_(1)+2x_(2)geqslant6x_(1),x_(2),x_(3)geqslant0
1.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类解：
(a) $\max z=2x_{1}-x_{2}+2x_{3}$ (b) $\min z=2x_{1}+3x_{2}+x_{3}$
$s.t.\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}\geqslant6\\-2x_{1}+x_{3}\geqslant2\\2x_{2}-x_{3}\geqslant0\\x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant0\end{cases}$
$s.t.\begin{cases}x_{1}+4x_{2}+2x_{3}\geqslant8\\3x_{1}+2x_{2}\geqslant6\\x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant0\end{cases}$
题目解答
答案
**（a）**
原问题无界解。
**（b）**
最优解为 $X^* = \left( \frac{4}{5}, \frac{9}{5}, 0 \right)^T$，目标值 $z = 7$。
**答案：**
（a）无界解
（b）无穷多最优解，其中之一为 $X^* = \left( \frac{4}{5}, \frac{9}{5}, 0 \right)^T$（或目标值 $z = 7$）。
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
\text{(a) 无界解} \\
\text{(b) 无穷多最优解，其中之一为 } X^* = \left( \frac{4}{5}, \frac{9}{5}, 0 \right)^T
\end{array}
}
\]
解析
题目考察知识
单纯形法中的大M法和两阶段法，用于求解线性规划问题，判断解的类型（最优解、无界解、无穷多最优解等）。
（a）问题分析
线性规划问题（a）：
$\max z=2x_{1}-x_{2}+2x_{3}$
$s.t.\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}\geqslant6\\-2x_{1}+x_{3}\geqslant2\\2x_{2}-x_{3}\geqslant0\\x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant0\end{cases}$
关键步骤：
- 标准化：引入松弛变量$x_4,x__5,x_6\geqslant0$，转化为等式约束：
$x_1+x_2+x3-x4=6$
$-2x1+x3-x5=2$
$2x2-x3-x6=0$（此处原约束应为$2x2-x3\geqslant0$，即$2x2-x3-x6=0$）。 - 大M法/两阶段法：由于约束为“$\geqslant$”，需引入人工变量$x7,x8,x9$（或用两阶段法）。
- 迭代判断：通过单纯形表迭代发现，存在非基变量的检验数（检验数）为正（最大化问题），且该变量对应的系数列全非正，表明目标函数可无限增大，原问题无界解。
（b）问题分析
线性规划问题（b）：
$\min z=2x_{1}+3x_{2}+x_{3}$
$s.t.\begin{cases}x_{1}+4x_{2}+2x_{3}\geqslant8\\3x_{1}+2x_{2}\geqslant6\\x_{1},x_{2},x_{3}\geqslant0\end{cases}$
关键步骤：
- 标准化：引入松弛变量$x4,x5\geqslant0$，转化为等式约束：
$x1+4x2+2x3-x4=8$
$3x1+2x2-x5=6$。 - 两阶段法：第一阶段求人工变量最小化（或大M法惩罚人工变量），消除人工变量后进入第二阶段。
- 最优解判断：迭代至检验数均非负（最小化问题），发现基变量$x1,x2$对应的检验数为0，存在非基变量$x3$的检验数为0，表明有无穷多最优解。
- 具体最优解：取$x3=0$，解得$x1=4/5,x2=9/5$，目标值$z=2*(4/5)+3*(9/5)+0=7$。