(2020河南)已知f(1+x)=arctanx，f[φ(x)]=x-2，则φ(x+2)=____

考查要点：本题主要考查函数的复合与反函数的应用，以及三角函数与反三角函数的相互转换。

解题核心思路：

1. 确定函数$f(x)$的表达式：通过变量替换，将已知条件$f(1+x)=\arctan x$转化为关于$f(t)$的表达式。
2. 建立方程求解$\varphi(x)$：利用$f[\varphi(x)]=x-2$，将$f(x)$的表达式代入，通过取正切消去反三角函数，解出$\varphi(x)$。
3. 代入$x+2$求值：将$x$替换为$x+2$，得到$\varphi(x+2)$的最终表达式。

破题关键点：

• 变量替换：通过设$t=1+x$，将$f(1+x)$转化为$f(t)$的表达式。
• 反三角函数与三角函数的转换：利用$\tan(\arctan \theta) = \theta$的性质，消去反三角函数。
• 函数的复合关系：注意$\varphi(x)$作为$f$的输入，需代入后解方程。

步骤1：确定$f(x)$的表达式
设$t = 1 + x$，则$x = t - 1$。代入$f(1+x) = \arctan x$得：
$f(t) = \arctan(t - 1)$
因此，$f(x) = \arctan(x - 1)$。

步骤2：建立方程求解$\varphi(x)$
根据$f[\varphi(x)] = x - 2$，代入$f(x)$的表达式：
$\arctan\left(\varphi(x) - 1\right) = x - 2$
对两边取正切：
$\varphi(x) - 1 = \tan(x - 2)$
解得：
$\varphi(x) = \tan(x - 2) + 1$

步骤3：求$\varphi(x+2)$
将$x$替换为$x+2$：
$\varphi(x+2) = \tan\left((x+2) - 2\right) + 1 = \tan x + 1$