4.函数 =xcos x 在 (-infty ,+infty ) 内是否有界?这个函数是否为 arrow +infty 时的无穷大?

考查要点：本题主要考查函数的有界性和无穷大的概念，需要结合三角函数和多项式函数的性质进行分析。

解题核心思路：

1. 有界性：判断是否存在某个常数$M$，使得$|x \cos x| \leq M$对所有$x$成立。由于$\cos x$有界但$x$无界，需分析两者的乘积是否可能无界。
2. 无穷大：判断当$x \to +\infty$时，$x \cos x$是否能无限增大。需注意$\cos x$的周期性振荡对结果的影响。

破题关键点：

• 利用$\cos x$的周期性：当$x$取某些特定值（如$x = 2k\pi$）时，$\cos x = 1$，此时$y = x$无界。
• 振荡特性：$\cos x$的值在$[-1,1]$之间交替变化，导致$y = x \cos x$的振幅随$x$增大而无限扩大，但符号不定。

1. 函数是否有界？

关键结论：函数$y = x \cos x$在$(-\infty, +\infty)$内无界。

分析过程：

• $\cos x$的取值范围为$[-1, 1]$，但$x$本身在$x \to +\infty$时无界。
• 当$x = 2k\pi$（$k$为整数）时，$\cos x = 1$，此时$y = x$。对于任意给定的$M > 0$，只需取$x_0 = 2k\pi > M$，则$y = x_0 > M$，说明函数值可以任意大。
• 同理，当$x = (2k+1)\pi$时，$\cos x = -1$，此时$y = -x$，绝对值同样无界。

2. 是否为$x \to +\infty$时的无穷大？

关键结论：函数$y = x \cos x$不是$x \to +\infty$时的无穷大。

分析过程：

• 根据无穷大的定义，对于任意$M > 0$，存在$X > 0$，使得当$x > X$时，$|y| > M$。
• 但$\cos x$的周期性导致$y$的值在正负之间交替振荡。例如：
  • 当$x = 2k\pi$时，$y = x$趋近于$+\infty$；
  • 当$x = (2k+1)\pi$时，$y = -x$趋近于$-\infty$；
  • 当$x = k\pi + \frac{\pi}{2}$时，$\cos x = 0$，此时$y = 0$。
• 因此，无论$x$多大，总存在某些点使得$y$的值很小（如$y = 0$），无法满足无穷大的条件。