题目
[题目]已知函数 =ln (x+sqrt ({a)^2+(x)^2}) 求y`.
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用链式法则
首先，我们应用链式法则来求导。链式法则告诉我们，如果 $y=f(g(x))$，那么 $y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$。在这个问题中，$f(u)=\ln(u)$，$g(x)=x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$，因此 $y'=\frac{1}{x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}\cdot (x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}})'$。
步骤 2：求导 $g(x)$
接下来，我们求导 $g(x)=x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$。$g'(x)=1+\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}=1+\frac{x}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}$。
步骤 3：计算 $y'$
将 $g'(x)$ 代入 $y'$ 的表达式中，我们得到 $y'=\frac{1}{x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}\cdot (1+\frac{x}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}})$。化简这个表达式，我们得到 $y'=\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}$。
首先，我们应用链式法则来求导。链式法则告诉我们，如果 $y=f(g(x))$，那么 $y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$。在这个问题中，$f(u)=\ln(u)$，$g(x)=x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$，因此 $y'=\frac{1}{x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}\cdot (x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}})'$。
步骤 2：求导 $g(x)$
接下来，我们求导 $g(x)=x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}$。$g'(x)=1+\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}=1+\frac{x}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}$。
步骤 3：计算 $y'$
将 $g'(x)$ 代入 $y'$ 的表达式中，我们得到 $y'=\frac{1}{x+\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}\cdot (1+\frac{x}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}})$。化简这个表达式，我们得到 $y'=\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{x}^{2}}}$。