函数 f(x,y)= x^3 + y^3 - 3(x^2 + y^2) 的极小值点是A. (0,0)B. (0,2)C. (2,0)D. (2,2)

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $f(x,y)= x^3 + y^3 - 3(x^2 + y^2)$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 6x
$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$$
\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 6y
$$
步骤 2：寻找临界点
临界点是偏导数同时为零的点。因此，我们需要解方程组：
$$
\begin{cases}
3x^2 - 6x = 0 \\
3y^2 - 6y = 0
\end{cases}
$$
解第一个方程，我们得到：
$$
3x(x - 2) = 0
$$
因此，$x = 0$ 或 $x = 2$。
解第二个方程，我们得到：
$$
3y(y - 2) = 0
$$
因此，$y = 0$ 或 $y = 2$。
所以，临界点是 $(0,0)$, $(0,2)$, $(2,0)$, $(2,2)$。
步骤 3：确定极值点
为了确定这些临界点是极大值点、极小值点还是鞍点，我们需要计算二阶偏导数，并使用海森矩阵。二阶偏导数为：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x - 6, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y - 6, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0
$$
海森矩阵为：
$$
H = \begin{pmatrix}
6x - 6 & 0 \\
0 & 6y - 6
\end{pmatrix}
$$
对于 $(0,0)$，海森矩阵为：
$$
H = \begin{pmatrix}
-6 & 0 \\
0 & -6
\end{pmatrix}
$$
行列式为 $36$，且主对角线元素为负，所以 $(0,0)$ 是极大值点。
对于 $(0,2)$，海森矩阵为：
$$
H = \begin{pmatrix}
-6 & 0 \\
0 & 6
\end{pmatrix}
$$
行列式为 $-36$，所以 $(0,2)$ 是鞍点。
对于 $(2,0)$，海森矩阵为：
$$
H = \begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & -6
\end{pmatrix}
$$
行列式为 $-36$，所以 $(2,0)$ 是鞍点。
对于 $(2,2)$，海森矩阵为：
$$
H = \begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 6
\end{pmatrix}
$$
行列式为 $36$，且主对角线元素为正，所以 $(2,2)$ 是极小值点。