5、复色光由波长为λ1 = 600nm与λ = 400nm的单色光组成，垂直入射到光栅上，测得屏幕上距离中央明纹中心5cm处λ1的m 级谱线与λ2的m + 1谱线重合，若会聚透镜的焦距f = 50cm,求：(1)m的值；(2)光栅常数d.

考查要点：本题主要考查光栅衍射的基本规律及几何近似应用。
解题核心思路：

1. 光栅方程：$d \sin \theta = m \lambda$，当两种单色光的谱线重合时，对应方程中的$\sin \theta$相等。
2. 几何近似：利用小角度近似$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{f}$，将光栅常数$d$与实验几何参数关联。
   破题关键点：

• 级数关系：通过重合条件建立方程$m \lambda_1 = (m+1) \lambda_2$，解出$m$。
• 光栅常数计算：结合几何参数和已求得的$m$，代入光栅方程求$d$。

第（1）题：求$m$的值

建立光栅方程关系

两种单色光的谱线重合，说明它们的衍射角$\theta$相同，因此光栅方程满足：
$d \sin \theta = m \lambda_1 \quad \text{和} \quad d \sin \theta = (m+1) \lambda_2$
联立得：
$m \lambda_1 = (m+1) \lambda_2$

代入已知波长

将$\lambda_1 = 600 \, \text{nm}$，$\lambda_2 = 400 \, \text{nm}$代入方程：
$m \cdot 600 = (m+1) \cdot 400$
展开整理：
$600m = 400m + 400 \implies 200m = 400 \implies m = 2$

第（2）题：求光栅常数$d$

几何近似计算$\sin \theta$

屏幕上的位置$y = 5 \, \text{cm}$，焦距$f = 50 \, \text{cm}$，小角度下$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{y}{f}$：
$\sin \theta \approx \frac{5}{50} = 0.1$

代入光栅方程求$d$

将$m = 2$，$\lambda_1 = 600 \, \text{nm}$，$\sin \theta = 0.1$代入光栅方程：
$d = \frac{m \lambda_1}{\sin \theta} = \frac{2 \cdot 600}{0.1} = 12000 \, \text{nm} = 12 \, \mu\text{m}$