求曲线 =dfrac (t)(1+t) ,=dfrac (1+t)(t) =(t)^2 在对应于 _(0)=1 的点处的切线及法平面方程.

考查要点：本题主要考查参数方程表示的曲线在指定点处的切线方程和法平面方程的求解方法。

解题核心思路：

1. 确定曲线在$t_0=1$处的点坐标：将$t=1$代入参数方程。
2. 求曲线在该点的切线方向向量：分别对$x(t)$、$y(t)$、$z(t)$求导，得到$\frac{dx}{dt}$、$\frac{dy}{dt}$、$\frac{dz}{dt}$，再代入$t=1$。
3. 切线方程：利用点向式方程，以切线方向向量为方向，点坐标为基点。
4. 法平面方程：以切线方向向量为法向量，利用点法式方程。

破题关键点：

• 正确计算导数：注意参数方程的导数形式，尤其是分式函数的求导。
• 方向向量的处理：切线方向向量可化简为整数形式，便于书写方程。
• 方程整理：法平面方程需展开并整理为标准形式。

1. 求曲线在$t_0=1$处的点坐标

将$t=1$代入参数方程：
$x(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}, \quad y(1) = \frac{1+1}{1} = 2, \quad z(1) = 1^2 = 1.$
对应点为$\left( \frac{1}{2}, 2, 1 \right)$。

2. 求切线方向向量

分别对$x(t)$、$y(t)$、$z(t)$求导：
$\frac{dx}{dt} = \frac{(1+t) \cdot 1 - t \cdot 1}{(1+t)^2} = \frac{1}{(1+t)^2}, \quad \frac{dy}{dt} = \frac{-1}{t^2}, \quad \frac{dz}{dt} = 2t.$
代入$t=1$：
$\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=1} = \frac{1}{4}, \quad \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=1} = -1, \quad \frac{dz}{dt}\bigg|_{t=1} = 2.$
切线方向向量为$\left( \frac{1}{4}, -1, 2 \right)$，化简为整数形式$(1, -4, 8)$。

3. 切线方程

以点$\left( \frac{1}{2}, 2, 1 \right)$和方向向量$(1, -4, 8)$，切线方程为：
$\frac{x - \frac{1}{2}}{1} = \frac{y - 2}{-4} = \frac{z - 1}{8}.$

4. 法平面方程

法平面的法向量为切线方向向量$(1, -4, 8)$，利用点法式方程：
$1 \cdot \left( x - \frac{1}{2} \right) - 4 \cdot (y - 2) + 8 \cdot (z - 1) = 0.$
展开并整理：
$x - \frac{1}{2} - 4y + 8 + 8z - 8 = 0 \implies x - 4y + 8z - \frac{1}{2} = 0.$
两边乘以2消去分母，得：
$2x - 8y + 16z - 1 = 0.$