题目
例8 已知 (z)=dfrac (1)(2pi )(|)_(|i|=1)dfrac (cos xi )({(xi -z))^3}ds, 证明:当 |z|neq 1 时,f(z)解析,-|||-并求f`(z).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数 $f(z)$ 的定义
函数 $f(z)$ 定义为 $f(z)=\dfrac {1}{2\pi }\int_{|\xi|=1}\dfrac {\cos \xi }{{(\xi -z)}^{3}}d\xi $，其中积分路径为单位圆 $|\xi|=1$。
步骤 2：分析 $|z|>1$ 的情况
当 $|z|>1$ 时，$z$ 位于单位圆外，因此积分路径 $|\xi|=1$ 上的点与 $z$ 的距离大于1。根据柯西积分定理，由于被积函数在单位圆外解析，积分结果为0。因此，$f(z)=0$，且 $f'(z)=0$。
步骤 3：分析 $|z|<1$ 的情况
当 $|z|<1$ 时，$z$ 位于单位圆内，因此积分路径 $|\xi|=1$ 上的点与 $z$ 的距离大于0。根据柯西积分公式，$f(z)$ 可以表示为 $f(z)=\dfrac {1}{2\pi i}\int_{|\xi|=1}\dfrac {\cos \xi }{{(\xi -z)}^{3}}d\xi $。由于被积函数在单位圆内解析，$f(z)$ 也是解析的。根据柯西积分公式，$f'(z)$ 可以表示为 $f'(z)=\dfrac {1}{2\pi i}\int_{|\xi|=1}\dfrac {\cos \xi }{{(\xi -z)}^{4}}d\xi $。根据柯西积分公式，$f'(z)=\dfrac {1}{2\pi i}\cdot 2\pi i\cdot \dfrac {1}{3!}\cdot \cos^{(3)}(z)=\dfrac {1}{6}\cos^{(3)}(z)=\dfrac {1}{6}\sin(z)$。
函数 $f(z)$ 定义为 $f(z)=\dfrac {1}{2\pi }\int_{|\xi|=1}\dfrac {\cos \xi }{{(\xi -z)}^{3}}d\xi $，其中积分路径为单位圆 $|\xi|=1$。
步骤 2：分析 $|z|>1$ 的情况
当 $|z|>1$ 时，$z$ 位于单位圆外，因此积分路径 $|\xi|=1$ 上的点与 $z$ 的距离大于1。根据柯西积分定理，由于被积函数在单位圆外解析，积分结果为0。因此，$f(z)=0$，且 $f'(z)=0$。
步骤 3：分析 $|z|<1$ 的情况
当 $|z|<1$ 时，$z$ 位于单位圆内，因此积分路径 $|\xi|=1$ 上的点与 $z$ 的距离大于0。根据柯西积分公式，$f(z)$ 可以表示为 $f(z)=\dfrac {1}{2\pi i}\int_{|\xi|=1}\dfrac {\cos \xi }{{(\xi -z)}^{3}}d\xi $。由于被积函数在单位圆内解析，$f(z)$ 也是解析的。根据柯西积分公式，$f'(z)$ 可以表示为 $f'(z)=\dfrac {1}{2\pi i}\int_{|\xi|=1}\dfrac {\cos \xi }{{(\xi -z)}^{4}}d\xi $。根据柯西积分公式，$f'(z)=\dfrac {1}{2\pi i}\cdot 2\pi i\cdot \dfrac {1}{3!}\cdot \cos^{(3)}(z)=\dfrac {1}{6}\cos^{(3)}(z)=\dfrac {1}{6}\sin(z)$。