二、判断题（共10题，20.0分）30.（判断题，2.0分）过三点A(1，1，-1)，B(-2，-2，2)和C(1，0，2)的平面方程为2x-3y-z=0.A 对B 错

考查要点：本题主要考查空间几何中平面方程的求解方法，涉及向量叉积的应用及平面方程的建立。

解题核心思路：

1. 确定平面内的两个向量：通过已知三点坐标，构造两个向量。
2. 计算法向量：利用向量叉积求出平面的法向量。
3. 建立平面方程：结合法向量和已知点，代入平面方程的一般形式验证。

破题关键点：

• 正确计算向量叉积，确保法向量方向无误。
• 代入点验证方程，确认所有点均满足方程。

步骤1：构造平面内的两个向量

• 向量 $\overrightarrow{AB} = B - A = (-2-1, -2-1, 2+1) = (-3, -3, 3)$
• 向量 $\overrightarrow{AC} = C - A = (1-1, 0-1, 2+1) = (0, -1, 3)$

步骤2：计算法向量

通过叉积 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ 得到法向量：
$\begin{aligned}\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\-3 & -3 & 3 \\0 & -1 & 3\end{vmatrix} \\ &= \mathbf{i}[(-3)(3) - (3)(-1)] - \mathbf{j}[(-3)(3) - (3)(0)] + \mathbf{k}[(-3)(-1) - (-3)(0)] \\ &= -6\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = (-6, 9, 3) \end{aligned}$
简化法向量：将法向量除以 $-3$，得 $(2, -3, -1)$。

步骤3：建立平面方程

使用点 $A(1, 1, -1)$ 和法向量 $(2, -3, -1)$，代入平面方程形式 $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$：
$2(x - 1) - 3(y - 1) - 1(z + 1) = 0$
展开并整理：
$2x - 2 - 3y + 3 - z - 1 = 0 \implies 2x - 3y - z = 0$

步骤4：验证三点是否满足方程

• 点 $A(1,1,-1)$：$2(1) - 3(1) - (-1) = 0$
• 点 $B(-2,-2,2)$：$2(-2) - 3(-2) - 2 = 0$
• 点 $C(1,0,2)$：$2(1) - 3(0) - 2 = 0$

所有点均满足方程，故原题判断正确。