题目
求y= ) (x)^2 (-1leqslant xlt 0) ln x (0lt xleqslant 1) 2(e)^x-1 (1lt xleqslant 2) .的反函数及其定义域.
求
的反函数及其定义域.
题目解答
答案
当
时，
则
，
当
时，
则
当
时，
则
则其反函数为
，定义域为
综上所述，函数的反函数为，定义域为
解析
步骤 1：求解各段的反函数
对于$y=x^2$，当$1\leqslant x\lt 0$时，$y$的取值范围是$0\lt y\leqslant 1$。由于$x$的取值范围是负数，因此反函数为$x=-\sqrt{y}$。
对于$y=\ln x$，当$0\lt x\leqslant 1$时，$y$的取值范围是$y\leqslant 0$。反函数为$x=e^y$。
对于$y=2e^{x-1}$，当$1\lt x\leqslant 2$时，$y$的取值范围是$2\lt y\leqslant 2e$。反函数为$x=1+\ln\frac{y}{2}$。
步骤 2：确定反函数的定义域
根据步骤1中求得的反函数，可以确定反函数的定义域为$(-\infty,1]\cup(2,2e]$。
对于$y=x^2$，当$1\leqslant x\lt 0$时，$y$的取值范围是$0\lt y\leqslant 1$。由于$x$的取值范围是负数，因此反函数为$x=-\sqrt{y}$。
对于$y=\ln x$，当$0\lt x\leqslant 1$时，$y$的取值范围是$y\leqslant 0$。反函数为$x=e^y$。
对于$y=2e^{x-1}$，当$1\lt x\leqslant 2$时，$y$的取值范围是$2\lt y\leqslant 2e$。反函数为$x=1+\ln\frac{y}{2}$。
步骤 2：确定反函数的定义域
根据步骤1中求得的反函数，可以确定反函数的定义域为$(-\infty,1]\cup(2,2e]$。