题目
z=0是函数dfrac(sin z)(z^2)的( ).A. 本性奇点B. 可去奇点C. 一级极点D. 二级极点
$z=0$是函数$\dfrac{\sin z}{z^{2}}$的( ).
A. 本性奇点
B. 可去奇点
C. 一级极点
D. 二级极点
题目解答
答案
C. 一级极点
解析
步骤 1：分析函数的奇点
函数$f(z) = \dfrac{\sin z}{z^{2}}$在$z=0$处的奇点类型需要通过分析函数在该点的洛朗展开式来确定。
步骤 2：洛朗展开式
首先，我们知道$\sin z$的泰勒展开式为$\sin z = z - \dfrac{z^3}{3!} + \dfrac{z^5}{5!} - \cdots$。因此，$\dfrac{\sin z}{z^{2}}$可以写为$\dfrac{z - \dfrac{z^3}{3!} + \dfrac{z^5}{5!} - \cdots}{z^{2}} = \dfrac{1}{z} - \dfrac{z}{3!} + \dfrac{z^3}{5!} - \cdots$。
步骤 3：确定奇点类型
从洛朗展开式可以看出，$\dfrac{\sin z}{z^{2}}$在$z=0$处的展开式中，$z^{-1}$项的系数不为零，而$z^{-2}$项的系数为零。因此，$z=0$是函数$\dfrac{\sin z}{z^{2}}$的一级极点。
函数$f(z) = \dfrac{\sin z}{z^{2}}$在$z=0$处的奇点类型需要通过分析函数在该点的洛朗展开式来确定。
步骤 2：洛朗展开式
首先，我们知道$\sin z$的泰勒展开式为$\sin z = z - \dfrac{z^3}{3!} + \dfrac{z^5}{5!} - \cdots$。因此，$\dfrac{\sin z}{z^{2}}$可以写为$\dfrac{z - \dfrac{z^3}{3!} + \dfrac{z^5}{5!} - \cdots}{z^{2}} = \dfrac{1}{z} - \dfrac{z}{3!} + \dfrac{z^3}{5!} - \cdots$。
步骤 3：确定奇点类型
从洛朗展开式可以看出，$\dfrac{\sin z}{z^{2}}$在$z=0$处的展开式中，$z^{-1}$项的系数不为零，而$z^{-2}$项的系数为零。因此，$z=0$是函数$\dfrac{\sin z}{z^{2}}$的一级极点。