题目
6.填空题曲线积分I=int_(L)(2xy^2+ysin x)dx+(2x^2y-cos x)dy=____，其中L是曲线y=sin(pi)/(2)x上由点(0,0)到点(1,1)的有向曲线段.第1空：
6.填空题
曲线积分$I=\int_{L}(2xy^{2}+y\sin x)dx+(2x^{2}y-\cos x)dy=$____，其中L是曲线$y=\sin\frac{\pi}{2}x$上由点(0,0)到点(1,1)的有向曲线段.
第1空：
题目解答
答案
为了计算曲线积分 $ I = \int_{L} (2xy^2 + y \sin x) \, dx + (2x^2 y - \cos x) \, dy $，其中 $ L $ 是曲线 $ y = \sin \frac{\pi}{2} x $ 上由点 $ (0,0) $ 到点 $ (1,1) $ 的有向曲线段，我们可以使用格林公式。格林公式指出，对于一个单连通区域 $ D $ 上的 positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve $ C $ 和 continuous partial derivatives $ P(x, y) $ and $ Q(x, y) $ 有
\[
\int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA
\]
首先，我们定义 $ P(x, y) = 2xy^2 + y \sin x $ 和 $ Q(x, y) = 2x^2 y - \cos x $。然后，我们计算 $ \frac{\partial Q}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial P}{\partial y} $:
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 y - \cos x) = 4xy + \sin x
\]
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy^2 + y \sin x) = 4xy + \sin x
\]
现在，我们计算 $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $:
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (4xy + \sin x) - (4xy + \sin x) = 0
\]
由于 $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 $，根据格林公式，我们有
\[
\int_{L} (2xy^2 + y \sin x) \, dx + (2x^2 y - \cos x) \, dy = 0
\]
因此，曲线积分 $ I $ 的值是
\[
\boxed{0}
\]
解析
步骤 1：定义 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$
定义 $P(x, y) = 2xy^2 + y \sin x$ 和 $Q(x, y) = 2x^2 y - \cos x$。
步骤 2：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$
计算 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 的偏导数：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 y - \cos x) = 4xy + \sin x \]
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy^2 + y \sin x) = 4xy + \sin x \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，对于一个单连通区域 $D$ 上的 positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve $C$ 和 continuous partial derivatives $P(x, y)$ and $Q(x, y)$ 有
\[ \int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \]
由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，根据格林公式，我们有
\[ \int_{L} (2xy^2 + y \sin x) \, dx + (2x^2 y - \cos x) \, dy = 0 \]
定义 $P(x, y) = 2xy^2 + y \sin x$ 和 $Q(x, y) = 2x^2 y - \cos x$。
步骤 2：计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$
计算 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 的偏导数：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 y - \cos x) = 4xy + \sin x \]
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy^2 + y \sin x) = 4xy + \sin x \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，对于一个单连通区域 $D$ 上的 positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve $C$ 和 continuous partial derivatives $P(x, y)$ and $Q(x, y)$ 有
\[ \int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \]
由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，根据格林公式，我们有
\[ \int_{L} (2xy^2 + y \sin x) \, dx + (2x^2 y - \cos x) \, dy = 0 \]