4.设 =(x)^2+(y)^2, 其中 y=f(x) 为由方程 ^2-xy+(y)^2=1 所确定的隐函-|||-数,求 dx/(dx) 及 dfrac ({d)^2z}(d{x)^2}

步骤 1：求隐函数的导数
首先，我们有隐函数方程 ${x}^{2}-xy+{y}^{2}=1$。为了求出 $\dfrac{dy}{dx}$，我们对两边同时求导，得到：
$$
2x - y - x\dfrac{dy}{dx} + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0
$$
解这个方程，得到：
$$
\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x - y}{x - 2y}
$$
步骤 2：求 $z$ 对 $x$ 的一阶导数
由于 $z = x^2 + y^2$，我们对 $z$ 求导，得到：
$$
\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\dfrac{dy}{dx}
$$
将 $\dfrac{dy}{dx}$ 的表达式代入，得到：
$$
\dfrac{dz}{dx} = 2x + 2y\left(\dfrac{2x - y}{x - 2y}\right) = \dfrac{2x^2 - 2y^2}{x - 2y}
$$
步骤 3：求 $z$ 对 $x$ 的二阶导数
为了求 $\dfrac{d^2z}{dx^2}$，我们对 $\dfrac{dz}{dx}$ 再次求导，得到：
$$
\dfrac{d^2z}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{2x^2 - 2y^2}{x - 2y}\right)
$$
使用商的导数公式，得到：
$$
\dfrac{d^2z}{dx^2} = \dfrac{(4x - 4y\dfrac{dy}{dx})(x - 2y) - (2x^2 - 2y^2)(1 - 2\dfrac{dy}{dx})}{(x - 2y)^2}
$$
将 $\dfrac{dy}{dx}$ 的表达式代入，化简得到：
$$
\dfrac{d^2z}{dx^2} = \dfrac{4x - 2y}{x - 2y} + \dfrac{6x}{(x - 2y)^3}
$$