题目

【例8】设函数y=y(x)由方程y+e^x+y=2x所确定，求(dy)/(dx),(d^2y)/(dx^2)

【例8】设函数$y=y(x)$由方程$y+e^{x+y}=2x$所确定，求$\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$

题目解答

答案

对等式 $ y + e^{x+y} = 2x $ 求导得： \[ \frac{dy}{dx} + e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx}) = 2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2 - e^{x+y}}{1 + e^{x+y}} \] 或表示为： \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2 - 2x + y}{1 + 2x - y} \] 再求导得： \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-9e^{x+y}}{(1 + e^{x+y})^3} \] 或表示为： \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-9(2x - y)}{(1 + 2x - y)^3} \] **答案：** \[ \boxed{ \begin{array}{cc} \frac{dy}{dx} = \frac{2 - e^{x+y}}{1 + e^{x+y}} \\ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-9e^{x+y}}{(1 + e^{x+y})^3} \end{array} } \] （或等价表示）

解析

考查要点：本题主要考查隐函数求导法，涉及一阶导数和二阶导数的计算，需要熟练运用链式法则和商的导数法则。

解题核心思路：

  1. 一阶导数：对原方程两边同时关于$x$求导，将含有$\frac{dy}{dx}$的项合并，解出$\frac{dy}{dx}$。
  2. 二阶导数：对一阶导数的结果再次求导，注意将$\frac{dy}{dx}$视为关于$x$的函数，使用商的导数法则，并代入已求得的$\frac{dy}{dx}$表达式。

破题关键点：

  • 链式法则：处理复合函数$e^{x+y}$时，需对指数部分$x+y$求导，引入$\frac{dy}{dx}$。
  • 代数变形：利用原方程$y + e^{x+y} = 2x$，将$e^{x+y}$替换为$2x - y$，简化表达式。

一阶导数$\frac{dy}{dx}$

  1. 对原方程求导：
    $\frac{d}{dx}(y + e^{x+y}) = \frac{d}{dx}(2x)$
    左边展开：
    $\frac{dy}{dx} + e^{x+y} \cdot \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) = 2$

  2. 整理并解出$\frac{dy}{dx}$：
    $\frac{dy}{dx}(1 + e^{x+y}) = 2 - e^{x+y}$
    $\frac{dy}{dx} = \frac{2 - e^{x+y}}{1 + e^{x+y}}$

  3. 代数替换（利用原方程$e^{x+y} = 2x - y$）：
    $\frac{dy}{dx} = \frac{2 - (2x - y)}{1 + (2x - y)} = \frac{2 - 2x + y}{1 + 2x - y}$

二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$

  1. 设$\frac{dy}{dx} = \frac{N}{D}$，其中$N = 2 - e^{x+y}$，$D = 1 + e^{x+y}$：
    $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{N' D - N D'}{D^2}$

  2. 计算$N'$和$D'$：
    $N' = -e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx}), \quad D' = e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx})$

  3. 代入并化简：
    $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{[-e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx})(1 + e^{x+y}) - (2 - e^{x+y})e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx})]}{(1 + e^{x+y})^2}$
    提取公因子$-e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx})$，合并后得：
    $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-9e^{x+y}}{(1 + e^{x+y})^3}$

  4. 代数替换（同理替换$e^{x+y}$）：
    $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-9(2x - y)}{(1 + 2x - y)^3}$