题目
二次曲面 16x^2-9y^2-9z^2=-25的名称是____.
二次曲面 $ 16x^{2}-9y^{2}-9z^{2}=-25$的名称是____.
题目解答
答案
这个问题涉及到二次曲面的分类。二次曲面是三维空间中由二次方程定义的曲面。根据方程的不同形式，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面等。给定的方程是 $16x^{2}-9y^{2}-9z^{2}=-25$，我们首先将方程标准化，以便更容易识别其类型。
将方程两边同时除以-25，得到：
\[ \frac{16x^{2}}{-25} - \frac{9y^{2}}{-25} - \frac{9z^{2}}{-25} = 1 \]
简化后得到：
\[ -\frac{16x^{2}}{25} + \frac{9y^{2}}{25} + \frac{9z^{2}}{25} = 1 \]
进一步整理为：
\[ \frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} + \frac{z^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} - \frac{x^{2}}{\left(\frac{5}{4}\right)^2} = 1 \]
这个方程的形式与双叶双曲面的标准方程 $\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} - \frac{x^2}{c^2} = 1$ 相匹配，其中 $a = b = \frac{5}{3}$ 和 $c = \frac{5}{4}$。
因此，给定的二次曲面 $16x^{2}-9y^{2}-9z^{2}=-25$ 的名称是**双叶双曲面**。
解析
步骤 1：标准化方程
将方程 $16x^{2}-9y^{2}-9z^{2}=-25$ 两边同时除以-25，得到： \[ \frac{16x^{2}}{-25} - \frac{9y^{2}}{-25} - \frac{9z^{2}}{-25} = 1 \] 简化后得到： \[ -\frac{16x^{2}}{25} + \frac{9y^{2}}{25} + \frac{9z^{2}}{25} = 1 \] 进一步整理为： \[ \frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} + \frac{z^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} - \frac{x^{2}}{\left(\frac{5}{4}\right)^2} = 1 \]
步骤 2：识别曲面类型
根据标准化后的方程形式 $\frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} + \frac{z^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} - \frac{x^{2}}{\left(\frac{5}{4}\right)^2} = 1$，可以看出它与双叶双曲面的标准方程 $\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} - \frac{x^2}{c^2} = 1$ 相匹配，其中 $a = b = \frac{5}{3}$ 和 $c = \frac{5}{4}$。
将方程 $16x^{2}-9y^{2}-9z^{2}=-25$ 两边同时除以-25，得到： \[ \frac{16x^{2}}{-25} - \frac{9y^{2}}{-25} - \frac{9z^{2}}{-25} = 1 \] 简化后得到： \[ -\frac{16x^{2}}{25} + \frac{9y^{2}}{25} + \frac{9z^{2}}{25} = 1 \] 进一步整理为： \[ \frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} + \frac{z^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} - \frac{x^{2}}{\left(\frac{5}{4}\right)^2} = 1 \]
步骤 2：识别曲面类型
根据标准化后的方程形式 $\frac{y^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} + \frac{z^{2}}{\left(\frac{5}{3}\right)^2} - \frac{x^{2}}{\left(\frac{5}{4}\right)^2} = 1$，可以看出它与双叶双曲面的标准方程 $\frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{b^2} - \frac{x^2}{c^2} = 1$ 相匹配，其中 $a = b = \frac{5}{3}$ 和 $c = \frac{5}{4}$。