题目
设随机变量X,Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则P(max(X,Y)leq 1)=____.A. (1)/(9)B. (1)/(12)C. (1)/(3)D. (1)/(4)
设随机变量$X,Y$相互独立，且均服从区间$[0,3]$上的均匀分布，则$P(\max(X,Y)\leq 1)=$____.
A. $\frac{1}{9}$
B. $\frac{1}{12}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{4}$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{9}$
解析
步骤 1：确定随机变量的概率密度函数
由于 $X$ 和 $Y$ 均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{3}$，$x \in [0,3]$。同理，$f(y) = \frac{1}{3}$，$y \in [0,3]$。
步骤 2：计算 $P(X \leq 1)$ 和 $P(Y \leq 1)$
由于 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数为 $\frac{1}{3}$，则 $P(X \leq 1)$ 和 $P(Y \leq 1)$ 可以通过积分计算得到：
\[ P(X \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \]
\[ P(Y \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{3} \, dy = \frac{1}{3} \]
步骤 3：利用独立性计算 $P(\max(X,Y) \leq 1)$
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，所以 $P(\max(X,Y) \leq 1)$ 可以表示为 $P(X \leq 1)$ 和 $P(Y \leq 1)$ 的乘积：
\[ P(\max(X,Y) \leq 1) = P(X \leq 1) \cdot P(Y \leq 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \]
由于 $X$ 和 $Y$ 均服从区间 $[0,3]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为 $f(x) = \frac{1}{3}$，$x \in [0,3]$。同理，$f(y) = \frac{1}{3}$，$y \in [0,3]$。
步骤 2：计算 $P(X \leq 1)$ 和 $P(Y \leq 1)$
由于 $X$ 和 $Y$ 的概率密度函数为 $\frac{1}{3}$，则 $P(X \leq 1)$ 和 $P(Y \leq 1)$ 可以通过积分计算得到：
\[ P(X \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \]
\[ P(Y \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{3} \, dy = \frac{1}{3} \]
步骤 3：利用独立性计算 $P(\max(X,Y) \leq 1)$
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，所以 $P(\max(X,Y) \leq 1)$ 可以表示为 $P(X \leq 1)$ 和 $P(Y \leq 1)$ 的乘积：
\[ P(\max(X,Y) \leq 1) = P(X \leq 1) \cdot P(Y \leq 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \]