(6) lim _(xarrow infty )dfrac (arctan x)(x)

考查要点：本题主要考查学生对反三角函数arctan(x)在无穷远处的极限行为以及无穷小量与无穷大量比较的理解。

解题核心思路：
当$x \rightarrow \infty$时，$\arctan x$的取值趋于有限值（$\frac{\pi}{2}$或$-\frac{\pi}{2}$），而分母$x$趋于无穷大。此时分子为有界量，分母为无界量，因此整体分式趋于$0$。

关键点提醒：

• 避免混淆：虽然$\arctan x \sim x$当$x \rightarrow 0$时成立（等价无穷小），但本题中$x \rightarrow \infty$，此时$\arctan x$不再与$x$等价，而是趋于常数。

步骤1：分析分子和分母的极限趋势

• 当$x \rightarrow +\infty$时，$\arctan x \rightarrow \frac{\pi}{2}$（有限值）；
• 当$x \rightarrow -\infty$时，$\arctan x \rightarrow -\frac{\pi}{2}$（有限值）；
• 分母$x$在两种情况下均趋于无穷大（$+\infty$或$-\infty$）。

步骤2：应用“有界量/无穷大”的极限性质
分子$\arctan x$在$x \rightarrow \infty$时始终满足$|\arctan x| \leq \frac{\pi}{2}$，即为有界量；分母$x$趋于无穷大。根据极限运算法则：
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\text{有界量}}{\text{无穷大}} = 0.$

结论：
无论$x$从正无穷还是负无穷趋近，分式$\frac{\arctan x}{x}$的极限均为$0$。