1.证明:方程 ^3-4(x)^2+1=0 在区间(0,1)内至少有一个根.

考查要点：本题主要考查零点定理（介值定理）的应用，通过验证函数在区间端点的函数值符号变化，证明方程在该区间内至少存在一个根。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式$f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$。
2. 验证连续性：多项式函数在其定义域内连续，因此$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续。
3. 计算端点函数值：验证$f(0)$和$f(1)$的符号是否相反。
4. 应用零点定理：根据定理，若函数在区间端点异号，则区间内至少存在一个根。

破题关键点：明确零点定理的条件（连续性、端点函数值异号），并准确计算函数值。

步骤1：构造函数
令$f(x) = x^3 - 4x^2 + 1$，原方程等价于$f(x) = 0$。

步骤2：验证连续性
多项式函数$f(x)$在实数范围内连续，因此在闭区间$[0,1]$上连续。

步骤3：计算端点函数值

• 当$x = 0$时，$f(0) = 0^3 - 4 \cdot 0^2 + 1 = 1 > 0$；
• 当$x = 1$时，$f(1) = 1^3 - 4 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 4 + 1 = -2 < 0$。

步骤4：应用零点定理
由于$f(0) > 0$且$f(1) < 0$，根据零点定理，在区间$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使得$f(\xi) = 0$，即方程在$(0,1)$内至少有一个根。