题目
16. 试问函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内是否连续？是否一致连续？
16. 试问函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内是否连续？是否一致连续？
题目解答
答案
【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1 内连续．因为 z 在内连续，故 f(z) = 1/(1 – z )在\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此 f(z)在单位圆| z | < 1 内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1 内不一致连续．令 zn = 1 – 1/n，wn = 1 – 1/(n 1)，n．则 zn, wn都在单位圆| z | < 1 内，| zn wn | 0，但| f(zn)f(wn)| = | n (n 1) | = 1 > 0，故 f(z)在单位圆| z |< 1 内不一致连续．[也可以直接用实函数 f(x) = 1/(1 – x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是 f(z)在 E = { z | Im(z) = 0, 0 < 1 }上的限制即可．]
解析
步骤 1：函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内的连续性
函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内连续，因为 z 在单位圆| z | < 1 内连续，且 f(z) = 1/(1 – z )是连续函数的四则运算结果，因此 f(z)在单位圆| z | < 1 内连续。
步骤 2：函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内的一致连续性
函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内不一致连续。为了证明这一点，我们考虑两个序列 zn = 1 – 1/n 和 wn = 1 – 1/(n + 1)，其中 n 是自然数。这两个序列都在单位圆| z | < 1 内，且 | zn – wn | 趋于 0。然而，| f(zn) – f(wn) | = | n – (n + 1) | = 1，这表明 f(z)在单位圆| z | < 1 内不一致连续。
步骤 3：实函数 f(x) = 1/(1 – x )在(0, 1)内的一致连续性
我们也可以通过考虑实函数 f(x) = 1/(1 – x )在(0, 1)内的不一致连续性来说明 f(z)在单位圆| z | < 1 内不一致连续。只要将这个实函数看成是 f(z)在 E = { z | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可。
函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内连续，因为 z 在单位圆| z | < 1 内连续，且 f(z) = 1/(1 – z )是连续函数的四则运算结果，因此 f(z)在单位圆| z | < 1 内连续。
步骤 2：函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内的一致连续性
函数 f(z) = 1/(1 – z )在单位圆| z | < 1 内不一致连续。为了证明这一点，我们考虑两个序列 zn = 1 – 1/n 和 wn = 1 – 1/(n + 1)，其中 n 是自然数。这两个序列都在单位圆| z | < 1 内，且 | zn – wn | 趋于 0。然而，| f(zn) – f(wn) | = | n – (n + 1) | = 1，这表明 f(z)在单位圆| z | < 1 内不一致连续。
步骤 3：实函数 f(x) = 1/(1 – x )在(0, 1)内的一致连续性
我们也可以通过考虑实函数 f(x) = 1/(1 – x )在(0, 1)内的不一致连续性来说明 f(z)在单位圆| z | < 1 内不一致连续。只要将这个实函数看成是 f(z)在 E = { z | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可。