3.级数sum_(n=1)^infty((1)/(sqrt(n))-(1)/(sqrt(n+1)))sin(n+k)(k为常数)( )A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 收敛性与k有关

考查要点：本题主要考查级数的收敛性判断，涉及绝对收敛与条件收敛的判定方法，以及比较判别法和狄利克雷判别法的应用。

解题核心思路：

1. 分析通项结构：将通项拆分为系数部分和三角函数部分，分别分析其性质。
2. 近似展开系数：对系数 $\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 进行泰勒展开，简化为 $O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$。
3. 绝对收敛性判断：通过比较判别法，证明绝对值级数收敛。
4. 原级数收敛性验证：利用狄利克雷判别法，结合三角函数部分和的有界性，确认原级数收敛。

破题关键点：

• 系数近似：将系数转化为可比较的 $p$-级数形式。
• 绝对值比较：通过 $| \sin(n+k) | \leq 1$ 简化绝对值级数的比较。
• 狄利克雷条件验证：确认系数单调递减至零，三角函数部分和有界。

步骤1：分析通项结构

通项为：
$a_n = \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) \sin(n+k)$
对系数部分 $\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 进行泰勒展开：
$\frac{1}{\sqrt{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} \approx \frac{1}{\sqrt{n}} \left( 1 - \frac{1}{2n} + \cdots \right)$
因此：
$\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \approx \frac{1}{2n^{3/2}} \quad (\text{当 } n \text{ 较大时})$

步骤2：判断绝对收敛性

取绝对值：
$|a_n| \approx \left| \frac{\sin(n+k)}{2n^{3/2}} \right| \leq \frac{1}{2n^{3/2}}$
比较级数 $\sum \frac{1}{2n^{3/2}}$，因 $p = \frac{3}{2} > 1$，由比较判别法知 $\sum |a_n|$ 收敛，故原级数绝对收敛。

步骤3：验证原级数收敛性（狄利克雷判别法）

• 系数部分：$\frac{1}{2n^{3/2}}$ 单调递减且趋于 $0$。
• 三角函数部分：$\sum_{n=1}^N \sin(n+k)$ 的部分和有界（利用三角级数求和公式）。
  由狄利克雷判别法，原级数收敛。