题目
14、计算定积分int_(1)^e(ln^2x)/(x)dx.
14、计算定积分$\int_{1}^{e}\frac{\ln^{2}x}{x}dx$.
题目解答
答案
为了计算定积分 $\int_{1}^{e}\frac{\ln^{2}x}{x}dx$，我们可以使用换元法。设 $u = \ln x$。那么，$du = \frac{1}{x}dx$。
当 $x = 1$ 时，$u = \ln 1 = 0$。当 $x = e$ 时，$u = \ln e = 1$。因此，积分可以重写为关于 $u$ 的形式：
\[
\int_{1}^{e}\frac{\ln^{2}x}{x}dx = \int_{0}^{1}u^2 du
\]
现在，我们需要计算积分 $\int_{0}^{1}u^2 du$。$u^2$ 的反导数是 $\frac{u^3}{3}$。因此，我们有：
\[
\int_{0}^{1}u^2 du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}
\]
因此，定积分的值是 $\boxed{\frac{1}{3}}$。
解析
考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用换元法处理含有对数函数的积分。
解题核心思路：通过观察被积函数$\frac{\ln^{2}x}{x}$的结构，发现$\ln x$的导数$\frac{1}{x}$恰好出现在分子中，因此可以设$u = \ln x$进行换元，将原积分转化为关于$u$的简单幂函数积分。
破题关键点：
- 识别换元对象：选择$u = \ln x$，使得$du = \frac{1}{x}dx$，从而简化积分表达式。
- 调整积分限：当$x$从$1$到$e$时，对应的$u$从$0$到$1$，避免后续计算中积分限混淆。
步骤1：换元简化积分
设$u = \ln x$，则$du = \frac{1}{x}dx$，即$\frac{1}{x}dx = du$。
当$x = 1$时，$u = \ln 1 = 0$；当$x = e$时，$u = \ln e = 1$。
原积分变为：
$\int_{1}^{e}\frac{\ln^{2}x}{x}dx = \int_{0}^{1}u^2 du$
步骤2：计算幂函数积分
对$u^2$积分：
$\int_{0}^{1}u^2 du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1}$
步骤3：代入上下限
计算定积分：
$\left[\frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$