题目
求过曲线 =ln x 上的点(e,1)的法线与x轴及曲线 =ln x 所围图形-|||-的面积.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求曲线 $y=\ln x$ 在点(e,1)处的法线方程
曲线 $y=\ln x$ 在点(e,1)处的导数为 $y'=\frac{1}{x}$，在点(e,1)处的斜率为 $\frac{1}{e}$。因此，法线的斜率为 $-\frac{1}{\frac{1}{e}}=-e$。法线方程为 $y-1=-e(x-e)$，即 $y=-ex+e^2+1$。
步骤 2：求法线与x轴的交点
令 $y=0$，解得 $x=e+\frac{1}{e}$。因此，法线与x轴的交点为 $(e+\frac{1}{e},0)$。
步骤 3：求所围图形的面积
所围图形的面积为曲线 $y=\ln x$ 与法线 $y=-ex+e^2+1$ 在区间 $[1,e+\frac{1}{e}]$ 上的面积之和。因此，面积为 $S={\int }_{1}^{e+\frac{1}{e}}\ln xdx+{\int }_{e}^{e+\frac{1}{e}}(-ex+e^2+1)dx$。
步骤 4：计算积分
${\int }_{1}^{e+\frac{1}{e}}\ln xdx=[x\ln x-x]_{1}^{e+\frac{1}{e}}=(e+\frac{1}{e})\ln(e+\frac{1}{e})-(e+\frac{1}{e})+1$，${\int }_{e}^{e+\frac{1}{e}}(-ex+e^2+1)dx=[-\frac{1}{2}ex^2+e^2x+x]_{e}^{e+\frac{1}{e}}=-\frac{1}{2}e(e+\frac{1}{e})^2+e^2(e+\frac{1}{e})+(e+\frac{1}{e})+\frac{1}{2}e^3-e^3-e$。
步骤 5：计算面积
$S=(e+\frac{1}{e})\ln(e+\frac{1}{e})-(e+\frac{1}{e})+1-\frac{1}{2}e(e+\frac{1}{e})^2+e^2(e+\frac{1}{e})+(e+\frac{1}{e})+\frac{1}{2}e^3-e^3-e=1+\frac{1}{2e}$。
曲线 $y=\ln x$ 在点(e,1)处的导数为 $y'=\frac{1}{x}$，在点(e,1)处的斜率为 $\frac{1}{e}$。因此，法线的斜率为 $-\frac{1}{\frac{1}{e}}=-e$。法线方程为 $y-1=-e(x-e)$，即 $y=-ex+e^2+1$。
步骤 2：求法线与x轴的交点
令 $y=0$，解得 $x=e+\frac{1}{e}$。因此，法线与x轴的交点为 $(e+\frac{1}{e},0)$。
步骤 3：求所围图形的面积
所围图形的面积为曲线 $y=\ln x$ 与法线 $y=-ex+e^2+1$ 在区间 $[1,e+\frac{1}{e}]$ 上的面积之和。因此，面积为 $S={\int }_{1}^{e+\frac{1}{e}}\ln xdx+{\int }_{e}^{e+\frac{1}{e}}(-ex+e^2+1)dx$。
步骤 4：计算积分
${\int }_{1}^{e+\frac{1}{e}}\ln xdx=[x\ln x-x]_{1}^{e+\frac{1}{e}}=(e+\frac{1}{e})\ln(e+\frac{1}{e})-(e+\frac{1}{e})+1$，${\int }_{e}^{e+\frac{1}{e}}(-ex+e^2+1)dx=[-\frac{1}{2}ex^2+e^2x+x]_{e}^{e+\frac{1}{e}}=-\frac{1}{2}e(e+\frac{1}{e})^2+e^2(e+\frac{1}{e})+(e+\frac{1}{e})+\frac{1}{2}e^3-e^3-e$。
步骤 5：计算面积
$S=(e+\frac{1}{e})\ln(e+\frac{1}{e})-(e+\frac{1}{e})+1-\frac{1}{2}e(e+\frac{1}{e})^2+e^2(e+\frac{1}{e})+(e+\frac{1}{e})+\frac{1}{2}e^3-e^3-e=1+\frac{1}{2e}$。