题目
3、已知beta_(1)、beta_(2)是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，alpha_(1)、alpha_(2)是其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，k_(1)、k_(2)为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表为（）。A. k_(1)alpha_(1)+k_(2)(beta_(1)+beta_(2))+(beta_(1)-beta_(2))/(2);B. k_(1)alpha_(1)+k_(2)(beta_(1)+beta_(2))+(beta_(1)+beta_(2))/(2);C. k_(1)alpha_(1)+k_(2)alpha_(2)+(beta_(1)-beta_(2))/(2);D. k_(1)alpha_(1)+k_(2)alpha_(2)+(beta_(1)+beta_(2))/(2)。
3、已知$\beta_{1}$、$\beta_{2}$是非齐次线性方程组$Ax=b$的两个不同解，$\alpha_{1}$、$\alpha_{2}$是其对应的齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础解系，$k_{1}$、$k_{2}$为任意常数，则方程组$Ax=b$的通解可表为（）。
A. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}(\beta_{1}+\beta_{2})+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$;
B. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}(\beta_{1}+\beta_{2})+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$;
C. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$;
D. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$。
题目解答
答案
D. $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$。
解析
步骤 1：理解非齐次线性方程组的通解结构
非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的通解由其对应的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的通解加上非齐次方程组的一个特解组成。已知 $\alpha_1$、$\alpha_2$ 是齐次方程组的基础解系，$\beta_1$、$\beta_2$ 是非齐次方程组的解。
步骤 2：确定齐次方程组的通解
齐次方程组的通解为 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$，其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是任意常数。
步骤 3：确定非齐次方程组的特解
非齐次方程组的特解可取 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，因为
\[ A\left( \frac{\beta_1 + \beta_2}{2} \right) = \frac{A\beta_1 + A\beta_2}{2} = b. \]
步骤 4：组合齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解
因此，非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的通解为
\[ k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}. \]
非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的通解由其对应的齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的通解加上非齐次方程组的一个特解组成。已知 $\alpha_1$、$\alpha_2$ 是齐次方程组的基础解系，$\beta_1$、$\beta_2$ 是非齐次方程组的解。
步骤 2：确定齐次方程组的通解
齐次方程组的通解为 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$，其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是任意常数。
步骤 3：确定非齐次方程组的特解
非齐次方程组的特解可取 $\frac{\beta_1 + \beta_2}{2}$，因为
\[ A\left( \frac{\beta_1 + \beta_2}{2} \right) = \frac{A\beta_1 + A\beta_2}{2} = b. \]
步骤 4：组合齐次方程组的通解和非齐次方程组的特解
因此，非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的通解为
\[ k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \frac{\beta_1 + \beta_2}{2}. \]