6-5 一半径为R的半球壳,均匀地带有电荷,电-|||-荷面密度为σ.求球心处电场强度的大小.

考查要点：本题主要考查带电球壳对称性下电场强度的计算，需要利用对称性简化积分和微元法叠加的思想。

解题核心思路：

1. 对称性分析：半球壳关于对称轴（如z轴）对称，各电荷元在垂直对称轴方向的场强分量相互抵消，总场强仅沿对称轴方向。
2. 微元法：将半球壳分为无数电荷元，计算每个电荷元在球心处的场强分量，再积分求和。
3. 积分计算：利用球坐标系，将场强的z分量积分在整个半球壳上。

破题关键点：

• 场强方向的分解：每个电荷元的场强方向沿径向，但仅保留沿对称轴的分量。
• 积分区域的确定：半球壳的θ范围为$0$到$\frac{\pi}{2}$，φ范围为$0$到$2\pi$。

步骤1：建立坐标系与对称性分析

假设半球壳的对称轴为z轴，球心在原点。每个电荷元在球心处的场强方向沿径向，但垂直z轴的分量因对称性抵消，总场强仅沿z轴方向。

步骤2：电荷元的场强分量

取半球壳上面积元$dS$，其电荷为$\sigma dS$，在球心处的场强大小为：
$dE = \frac{\sigma dS}{4\pi \varepsilon_0 R^2}$
场强方向沿径向，其z分量为：
$dE_z = dE \cdot \cos\theta = \frac{\sigma dS}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \cos\theta$

步骤3：积分求总场强

在球坐标系中，面积元$dS = R^2 \sin\theta d\theta d\phi$，积分范围为$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，$\phi \in [0, 2\pi]$：
$E = \int dE_z = \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0 R^2} \cos\theta \cdot R^2 \sin\theta d\theta d\phi$
化简得：
$E = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos\theta d\theta$

步骤4：计算积分

1. 对$\phi$积分：$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$
2. 对$\theta$积分：令$u = \sin\theta$，则$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \cos\theta d\theta = \int_0^1 u du = \frac{1}{2}$
   最终结果：
   $E = \frac{\sigma}{4\pi \varepsilon_0} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sigma}{4\varepsilon_0}$