抛物面z=x^2+y^2被平面x+y+z=1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.
抛物面$z=x^{2}+y^{2}$被平面$x+y+z=1$截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.
题目解答
答案
设$Pleft(x,y,zright)$为椭圆上的一点，则$|OP|=x^{2}+y^{2}+z^{2}$.
所求问题为如下的条件极值问题：
目标函数$x^{2}+y^{2}+z^{2}$，约束条件：$z=x^{2}+y^{2}$，$x+y+z=1$.
设$Fleft(x,y,zright)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+lambda _{1}left(z-x^{2}-y^{2}right)+lambda _{2}left(x+y+z-1right)$，
则由方程组
$left{begin{array}{l}F'_{x}=2x-2lambda _{1}x+lambda _{2}=0\F''_{y}=2y-2lambda _{1}y+lambda _{2}=0\F'_{z}=2z-lambda _{1}+lambda _{2}=0\F'_{lambda _{1}}=z-x^{2}-y^{2}=0\F'_{lambda _{2}}=x+y+z-1=0end{array}right.$
可得：$x_{1}=y_{1}=dfrac{-1+sqrt{3}}{2}$，$z_{1}=2-sqrt{3}$，
$x_{2}=y_{2}=dfrac{-1-sqrt{3}}{2}$，$z_{2}=2+sqrt{3}$.
因为
$|OP_{1}|=sqrt{x_{1}^{2}+y_{2}^{2}+z_{1}^{2}}=sqrt{9-5sqrt{3}}$，
$|OP_{2}|=sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}=sqrt{9+5sqrt{3}}$，
所以最长距离$sqrt{9+5sqrt{3}}$，最短距离$sqrt{9-5sqrt{3}}$.
解析
设$P(x,y,z)$为椭圆上的一点，则$|OP|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.
所求问题为如下的条件极值问题：
目标函数$x^{2}+y^{2}+z^{2}$，约束条件：$z=x^{2}+y^{2}$，$x+y+z=1$.
步骤 2：引入拉格朗日乘数法
设$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda_{1}(z-x^{2}-y^{2})+\lambda_{2}(x+y+z-1)$，
则由方程组
$left{begin{array}{l}F'_{x}=2x-2lambda _{1}x+lambda _{2}=0\F''_{y}=2y-2lambda _{1}y+lambda _{2}=0\F'_{z}=2z-lambda _{1}+lambda _{2}=0\F'_{lambda _{1}}=z-x^{2}-y^{2}=0\F'_{lambda _{2}}=x+y+z-1=0end{array}right.$
可得：$x_{1}=y_{1}=dfrac{-1+sqrt{3}}{2}$，$z_{1}=2-sqrt{3}$，
$x_{2}=y_{2}=dfrac{-1-sqrt{3}}{2}$，$z_{2}=2+sqrt{3}$.
步骤 3：计算距离
因为
$|OP_{1}|=sqrt{x_{1}^{2}+y_{2}^{2}+z_{1}^{2}}=sqrt{9-5sqrt{3}}$，
$|OP_{2}|=sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}=sqrt{9+5sqrt{3}}$，
所以最长距离$sqrt{9+5sqrt{3}}$，最短距离$sqrt{9-5sqrt{3}}$.