题目

填空题（共2题，14.0分）15.（7.0分）计算极限lim_(x to 0) (1-xy)/(x^2)+y^(2)=第1空

填空题（共2题，14.0分） 15.（7.0分）计算极限$\lim_{x \to 0} \frac{1-xy}{x^{2}+y^{2}}=$ 第1空

题目解答

答案

为了计算极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-xy}{x^2+y^2}$，我们需要考虑当点 $(x, y)$ 沿着不同的路径 approaching $(0,0)$ 时，函数的值是否一致。如果沿着不同的路径得到的极限值不相同，那么该极限不存在。 ### 步骤1: 沿着 $y = 0$ 路径计算极限当 $y = 0$ 时，函数变为: \[ \frac{1-xy}{x^2+y^2} = \frac{1-0 \cdot x}{x^2+0^2} = \frac{1}{x^2} \] 当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{x^2} \to \infty$. 因此，沿着 $y = 0$ 路径，极限为 $\infty$. ### 步骤2: 沿着 $x = 0$ 路径计算极限当 $x = 0$ 时，函数变为: \[ \frac{1-xy}{x^2+y^2} = \frac{1-0 \cdot y}{0^2+y^2} = \frac{1}{y^2} \] 当 $y \to 0$ 时，$\frac{1}{y^2} \to \infty$. 因此，沿着 $x = 0$ 路径，极限为 $\infty$. ### 步骤3: 沿着 $y = x$ 路径计算极限当 $y = x$ 时，函数变为: \[ \frac{1-xy}{x^2+y^2} = \frac{1-x \cdot x}{x^2+x^2} = \frac{1-x^2}{2x^2} = \frac{1}{2x^2} - \frac{1}{2} \] 当 $x \to 0$ 时，$\frac{1}{2x^2} \to \infty$. 因此，$\frac{1}{2x^2} - \frac{1}{2} \to \infty$. 沿着 $y = x$ 路径，极限为 $\infty$. ### 步骤4: 沿着 $y = \frac{1}{x}$ 路径计算极限当 $y = \frac{1}{x}$ 时，函数变为: \[ \frac{1-xy}{x^2+y^2} = \frac{1-x \cdot \frac{1}{x}}{x^2 + \left(\frac{1}{x}\right)^2} = \frac{1-1}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = 0 \] 当 $x \to 0$ 时，$0 \to 0$. 因此，沿着 $y = \frac{1}{x}$ 路径，极限为 $0$. ### 结论由于沿着不同的路径得到的极限值不相同（有的是 $\infty$, 有的是 $0$), 因此极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{1-xy}{x^2+y^2}$ 不存在. \[ \boxed{\text{极限不存在}} \]

解析

本题考查二元函数极限的计算。解题思路是通过让点$(x,y)$沿着不同的路径趋近于$(0,0)$，计算函数在这些路径下的极限值。若沿着不同路径得到的极限值不同，则该二元函数在该点的极限不存在。

步骤1：沿着$y = 0$路径计算极限

当$y = 0$时，将其代入函数$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}$中，可得：
$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}=\frac{1 - 0\times x}{x^2 + 0^2}=\frac{1}{x^2}$
当$x \to 0$时，根据极限的性质，$\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2}=\infty$。所以沿着$y = 0$路径，极限为$\infty$。

步骤2：沿着$x = 0$路径计算极限

当$x = 0$时，将其代入函数$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}$中，可得：
$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}=\frac{1 - 0\times y}{0^2 + y^2}=\frac{1}{y^2}$
当$y \to 0$时，根据极限的性质，$\lim_{y \to 0}\frac{1}{y^2}=\infty$。所以沿着$x = 0$路径，极限为$\infty$。

步骤3：沿着$y = x$路径计算极限

当$y = x$时，将其代入函数$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}$中，可得：
$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}=\frac{1 - x\times x}{x^2 + x^2}=\frac{1 - x^2}{2x^2}=\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2}$
当$x \to 0$时，$\lim_{x \to 0}\frac{1}{2x^2}=\infty$，则$\lim_{x \to 0}(\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{2})=\infty$。所以沿着$y = x$路径，极限为$\infty$。

步骤4：沿着$y = \frac{1}{x}$路径计算极限

当$y = \frac{1}{x}$时，将其代入函数$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}$中，可得：
$\frac{1 - xy}{x^2 + y^2}=\frac{1 - x\times\frac{1}{x}}{x^2 + (\frac{1}{x})^2}=\frac{1 - 1}{x^2 + \frac{1}{x^2}}=\frac{0}{x^2 + \frac{1}{x^2}} = 0$
当$x \to 0$时，$\lim_{x \to 0}0 = 0$。所以沿着$y = \frac{1}{x}$路径，极限为$0$。

结论

由于沿着不同的路径得到的极限值不相同（有的是$\infty$，有的是$0$），根据二元函数极限存在的定义，该极限不存在。