题目
直线(x-1)/(2)=(y+2)/(-1)=(z)/(3)与平面x-y+2z+6=0的交点为[ ][图片]
直线$\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{3}$与平面x-y+2z+6=0的交点为[ ]
[图片]
题目解答
答案
设直线参数方程为 $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3} = t$，则
\[
x = 2t + 1, \quad y = -t - 2, \quad z = 3t.
\]
代入平面方程 $x - y + 2z + 6 = 0$，得
\[
(2t + 1) - (-t - 2) + 6t + 6 = 0 \implies 9t + 9 = 0 \implies t = -1.
\]
将 $t = -1$ 代入参数方程，得交点
\[
x = -1, \quad y = -1, \quad z = -3.
\]
因此，交点为 $(-1, -1, -3)$，对应选项 $\boxed{D}$。
解析
步骤 1：参数方程的建立
给定直线的方程为 $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3} = t$，其中 $t$ 是参数。根据这个方程，我们可以写出直线的参数方程：
\[ x = 2t + 1, \quad y = -t - 2, \quad z = 3t. \]
步骤 2：代入平面方程
将直线的参数方程代入平面方程 $x - y + 2z + 6 = 0$ 中，得到：
\[ (2t + 1) - (-t - 2) + 2(3t) + 6 = 0. \]
步骤 3：求解参数 $t$
化简上述方程，得到：
\[ 2t + 1 + t + 2 + 6t + 6 = 0 \implies 9t + 9 = 0 \implies t = -1. \]
步骤 4：求交点坐标
将 $t = -1$ 代入直线的参数方程中，得到交点的坐标：
\[ x = 2(-1) + 1 = -1, \quad y = -(-1) - 2 = -1, \quad z = 3(-1) = -3. \]
因此，交点坐标为 $(-1, -1, -3)$。
给定直线的方程为 $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z}{3} = t$，其中 $t$ 是参数。根据这个方程，我们可以写出直线的参数方程：
\[ x = 2t + 1, \quad y = -t - 2, \quad z = 3t. \]
步骤 2：代入平面方程
将直线的参数方程代入平面方程 $x - y + 2z + 6 = 0$ 中，得到：
\[ (2t + 1) - (-t - 2) + 2(3t) + 6 = 0. \]
步骤 3：求解参数 $t$
化简上述方程，得到：
\[ 2t + 1 + t + 2 + 6t + 6 = 0 \implies 9t + 9 = 0 \implies t = -1. \]
步骤 4：求交点坐标
将 $t = -1$ 代入直线的参数方程中，得到交点的坐标：
\[ x = 2(-1) + 1 = -1, \quad y = -(-1) - 2 = -1, \quad z = 3(-1) = -3. \]
因此，交点坐标为 $(-1, -1, -3)$。