(3)设 (x)=dfrac (x)(sqrt {{x)^2+1}}, 则 f(f(x))= __ (2012计算机

考查要点：本题主要考查函数的复合运算，即如何将一个函数的结果再次代入原函数进行计算。关键在于正确代入并化简表达式。

解题思路：

1. 明确复合函数定义：$f(f(x))$ 表示先计算 $f(x)$，再将其结果作为输入代入 $f$ 中。
2. 分步代入：先求出 $f(x)$ 的表达式，再将其结果代入 $f$ 的表达式中。
3. 化简分式：在代入过程中，需对分母进行通分和平方根化简，注意分子分母的约简。

破题关键：

• 正确代入：将 $f(x)$ 的结果作为新的变量代入原函数。
• 分母化简：通过通分和平方根性质，将复杂的分母表达式简化。

设 $f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$，求 $f(f(x))$。

步骤1：计算 $f(x)$
根据定义，$f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$。

步骤2：将 $f(x)$ 代入 $f$ 中
令 $y = f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$，则 $f(f(x)) = f(y) = \dfrac{y}{\sqrt{y^2 + 1}}$。

步骤3：代入 $y$ 的表达式
将 $y = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 代入 $f(y)$：
$f(y) = \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)^2 + 1}}.$

步骤4：化简分母
计算分母中的平方项：
$\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)^2 + 1 = \dfrac{x^2}{x^2 + 1} + 1 = \dfrac{x^2 + (x^2 + 1)}{x^2 + 1} = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1}.$
因此，分母的平方根为：
$\sqrt{\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 1}} = \dfrac{\sqrt{2x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}.$

步骤5：整体化简
将分子和分母代入原式：
$f(f(x)) = \dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{\dfrac{\sqrt{2x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}} = \dfrac{x}{\sqrt{2x^2 + 1}}.$