题目
[题目]-|||-设 '((x)_(0))=3 则 lim _(xarrow 0)dfrac (f({x)_(0)+x)-f((x)_(0)-3x)}(x)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用导数定义
根据导数的定义，$f'(x_0)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，即 $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$。题目中给出 $f'(x_0) = 3$，意味着 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = 3$。
步骤 2：将原极限表达式拆分为两部分
原极限表达式 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + x) - f(x_0 - 3x)}{x}$ 可以拆分为两部分，即 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + x) - f(x_0)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3x)}{x}$。注意到第二部分的分母是 $x$，而分子是 $f(x_0) - f(x_0 - 3x)$，为了与导数定义形式一致，需要将分子中的 $-3x$ 转换为 $3x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 3x) - f(x_0)}{3x} \cdot 3$。
步骤 3：应用导数定义
根据导数定义，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + x) - f(x_0)}{x} = f'(x_0)$，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 3x) - f(x_0)}{3x} = f'(x_0)$。因此，原极限表达式可以简化为 $f'(x_0) + 3f'(x_0) = 4f'(x_0)$。由于题目中给出 $f'(x_0) = 3$，所以原极限表达式的值为 $4 \times 3 = 12$。
根据导数的定义，$f'(x_0)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，即 $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$。题目中给出 $f'(x_0) = 3$，意味着 $\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = 3$。
步骤 2：将原极限表达式拆分为两部分
原极限表达式 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + x) - f(x_0 - 3x)}{x}$ 可以拆分为两部分，即 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + x) - f(x_0)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3x)}{x}$。注意到第二部分的分母是 $x$，而分子是 $f(x_0) - f(x_0 - 3x)$，为了与导数定义形式一致，需要将分子中的 $-3x$ 转换为 $3x$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - 3x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 3x) - f(x_0)}{3x} \cdot 3$。
步骤 3：应用导数定义
根据导数定义，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + x) - f(x_0)}{x} = f'(x_0)$，$\lim_{x \to 0} \frac{f(x_0 + 3x) - f(x_0)}{3x} = f'(x_0)$。因此，原极限表达式可以简化为 $f'(x_0) + 3f'(x_0) = 4f'(x_0)$。由于题目中给出 $f'(x_0) = 3$，所以原极限表达式的值为 $4 \times 3 = 12$。