题目
5.考虑二元函数f(x,y)的下面四条性质:-|||-(1)f(x,y)在点(x0,y0)连续;-|||-(2)fx(x,y)、fy (x,y)在点(x0,y0)连续;-|||-(3)f(x,y)在点(x0,y0)可微分;-|||-(4)fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存在.-|||-若用" P=Q "表示可由性质P推出性质Q,则下列四个选项中正确的是 () .-|||-(A) (2)Longrightarrow (3)Longrightarrow (1) (B) (3)Longrightarrow (2)Longrightarrow (1)-|||-(C) (3)Longrightarrow (4)Longrightarrow (1) (D) (3)Longrightarrow (1)Longrightarrow (4)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解二元函数的性质
二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的性质包括连续性、偏导数的存在性、偏导数的连续性以及可微性。这些性质之间存在一定的逻辑关系。
步骤 2：分析性质之间的关系
- 性质(2)：$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，这是二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分的充分条件。
- 性质(3)：$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分，意味着$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数存在且连续，同时$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续。
- 性质(4)：$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$存在，这是$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分的必要条件，但不是充分条件。
- 性质(1)：$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，这是$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分的必要条件，但不是充分条件。
步骤 3：确定正确的逻辑关系
根据上述分析，性质(2)可以推出性质(3)，性质(3)可以推出性质(1)。因此，正确的逻辑关系是$(2)\Longrightarrow (3)\Longrightarrow (1)$。
二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的性质包括连续性、偏导数的存在性、偏导数的连续性以及可微性。这些性质之间存在一定的逻辑关系。
步骤 2：分析性质之间的关系
- 性质(2)：$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，这是二元函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分的充分条件。
- 性质(3)：$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分，意味着$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数存在且连续，同时$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续。
- 性质(4)：$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$存在，这是$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分的必要条件，但不是充分条件。
- 性质(1)：$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$连续，这是$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分的必要条件，但不是充分条件。
步骤 3：确定正确的逻辑关系
根据上述分析，性质(2)可以推出性质(3)，性质(3)可以推出性质(1)。因此，正确的逻辑关系是$(2)\Longrightarrow (3)\Longrightarrow (1)$。