2.函数 u=xy+yz+zx 在点P(1,2,3)处沿向量OP的方向导数是 11√14/7, 函数u在点P处的-|||-方向导数取最大值的方向是(5,4,3),该点处方向导数的最大值是 5√2 .

步骤 1：计算函数u在点P(1,2,3)处的梯度
函数u=xy+yz+zx，其梯度为：
$\nabla u = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$
计算各偏导数：
$\frac{\partial u}{\partial x} = y + z$
$\frac{\partial u}{\partial y} = x + z$
$\frac{\partial u}{\partial z} = y + x$
将点P(1,2,3)代入，得到梯度：
$\nabla u(P) = (2+3, 1+3, 2+1) = (5, 4, 3)$

步骤 2：计算函数u在点P(1,2,3)处沿向量OP的方向导数
向量OP的方向向量为$\vec{OP} = (1, 2, 3)$，其单位向量为$\hat{OP} = \frac{\vec{OP}}{|\vec{OP}|} = \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{14}}$
函数u在点P处沿向量OP的方向导数为：
$D_{\hat{OP}}u(P) = \nabla u(P) \cdot \hat{OP} = (5, 4, 3) \cdot \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{14}} = \frac{5+8+9}{\sqrt{14}} = \frac{22}{\sqrt{14}} = \frac{11\sqrt{14}}{7}$

步骤 3：计算函数u在点P处的方向导数的最大值
函数u在点P处的方向导数的最大值为梯度的模长，即：
$|\nabla u(P)| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$