题目

20.（多选题，4分）下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有（）.A. a_(15)a_(23)a_(32)a_(44)a_(51)a_(66)B. a_(11)a_(26)a_(32)a_(44)a_(53)a_(65)C. a_(21)a_(53)a_(16)a_(42)a_(65)a_(34)D. a_(51)a_(32)a_(13)a_(44)a_(65)a_(26)

20.（多选题，4分）下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有（）.

A. $a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{51}a_{66}$

B. $a_{11}a_{26}a_{32}a_{44}a_{53}a_{65}$

C. $a_{21}a_{53}a_{16}a_{42}a_{65}a_{34}$

D. $a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{65}a_{26}$

题目解答

答案

AD
A. $a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{51}a_{66}$
D. $a_{51}a_{32}a_{13}a_{44}a_{65}a_{26}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式展开式中项的符号判断，关键在于确定排列的逆序数奇偶性。

解题思路：

  1. 行列式展开项的符号由列标排列的逆序数决定：逆序数为偶数时符号为“+”，奇数时为“-”。
  2. 对每个选项的列标排列，计算其逆序数：
    • 逆序数：排列中所有前项大于后项的元素对的总数。
  3. 根据逆序数的奇偶性，判断符号。

破题关键：准确计算每个列标排列的逆序数，并判断其奇偶性。

选项A：列标排列 $5,3,2,4,1,6$

  • 逆序数计算：
    • $5$ 后有 $3,2,1$ → $3$ 个逆序
    • $3$ 后有 $2,1$ → $2$ 个逆序
    • $2$ 后有 $1$ → $1$ 个逆序
    • $4$ 后有 $1$ → $1$ 个逆序
    • 总逆序数：$3+2+1+1=8$（偶数）
  • 符号：取“+”

选项B：列标排列 $1,6,2,4,3,5$

  • 逆序数计算：
    • $6$ 后有 $2,4,3,5$ → $4$ 个逆序
    • $4$ 后有 $3$ → $1$ 个逆序
    • 总逆序数：$4+1=5$（奇数）
  • 符号：取“-”

选项C：列标排列 $1,3,6,2,5,4$

  • 逆序数计算：
    • $3$ 后有 $2$ → $1$ 个逆序
    • $6$ 后有 $2,5,4$ → $3$ 个逆序
    • $5$ 后有 $4$ → $1$ 个逆序
    • 总逆序数：$1+3+1=5$（奇数）
  • 符号：取“-”

选项D：列标排列 $1,2,3,4,5,6$

  • 逆序数计算：无逆序（$0$，偶数）
  • 符号：取“+”