题目
幂级数 sum _(n=0)^infty dfrac ({x)^n+1}({3)^n} 的收敛半径 R= __ .--|||-__
题目解答
答案
3
解析
步骤 1：确定幂级数的一般形式
幂级数的一般形式为 $\sum _{n=0}^{\infty }a_nx^n$，其中 $a_n$ 是系数。对于给定的幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{n+1}}{{3}^{n}}$，我们可以通过重新索引使其符合一般形式。令 $m = n + 1$，则原级数可以写为 $\sum _{m=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{m}}{{3}^{m-1}}$。为了方便计算收敛半径，我们将其写为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{{3}^{n-1}}$，其中 $a_n = \dfrac{1}{{3}^{n-1}}$。
步骤 2：应用比值判别法计算收敛半径
收敛半径 $R$ 可以通过比值判别法计算，即 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|$。对于给定的幂级数，我们有 $a_n = \dfrac{1}{{3}^{n-1}}$ 和 $a_{n+1} = \dfrac{1}{{3}^{n}}$。因此，$R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\dfrac{1}{{3}^{n-1}}}{\dfrac{1}{{3}^{n}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{{3}^{n}}{{3}^{n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 3 \right| = 3$。
幂级数的一般形式为 $\sum _{n=0}^{\infty }a_nx^n$，其中 $a_n$ 是系数。对于给定的幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {{x}^{n+1}}{{3}^{n}}$，我们可以通过重新索引使其符合一般形式。令 $m = n + 1$，则原级数可以写为 $\sum _{m=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{m}}{{3}^{m-1}}$。为了方便计算收敛半径，我们将其写为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{x}^{n}}{{3}^{n-1}}$，其中 $a_n = \dfrac{1}{{3}^{n-1}}$。
步骤 2：应用比值判别法计算收敛半径
收敛半径 $R$ 可以通过比值判别法计算，即 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|$。对于给定的幂级数，我们有 $a_n = \dfrac{1}{{3}^{n-1}}$ 和 $a_{n+1} = \dfrac{1}{{3}^{n}}$。因此，$R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\dfrac{1}{{3}^{n-1}}}{\dfrac{1}{{3}^{n}}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{{3}^{n}}{{3}^{n-1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| 3 \right| = 3$。