F'(x)= f(x), f(x) 为可导函数,且 f(0)=1，又 F(x)= xf(x)+ x^2，则 f(x)= ( )A. -2x-1;B. -x^2+1;C. -2x+1;D. -x^2-1.

考查要点：本题主要考查导数的运算规则（乘积法则）以及微分方程的求解方法。关键在于通过已知条件建立关于$f(x)$的微分方程，并结合初始条件求解。

解题思路：

1. 利用导数定义：根据$F'(x) = f(x)$，对$F(x) = x f(x) + x^2$求导，得到关于$f(x)$和$f'(x)$的方程。
2. 建立微分方程：通过整理导数结果，消去$f(x)$，得到关于$f'(x)$的方程。
3. 求解微分方程：分离变量积分，结合初始条件$f(0)=1$确定常数。

破题关键：正确应用乘积法则对$x f(x)$求导，并注意$x=0$时的特殊情况。

1. 对$F(x)$求导
   根据$F(x) = x f(x) + x^2$，应用乘积法则对$x f(x)$求导：
   $F'(x) = \frac{d}{dx}[x f(x)] + \frac{d}{dx}[x^2] = f(x) + x f'(x) + 2x$

2. 建立方程
   题目给出$F'(x) = f(x)$，代入上式得：
   $f(x) + x f'(x) + 2x = f(x)$
   消去两边的$f(x)$，整理得：
   $x f'(x) + 2x = 0$

3. 求解微分方程
   当$x \neq 0$时，方程可化简为：
   $f'(x) = -2$
   积分得：
   $f(x) = -2x + C$
   利用初始条件$f(0) = 1$，代入$x=0$得：
   $1 = -2 \cdot 0 + C \implies C = 1$
   因此，$f(x) = -2x + 1$。

4. 验证$x=0$的情况
   当$x=0$时，原方程$x f'(x) + 2x = 0$恒成立，无需额外处理。解$f(x) = -2x + 1$在$x=0$处连续且满足条件。