题目
(int )_(0)^+infty (x)^3(e)^-2xdx= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：分部积分法
使用分部积分法，将积分 $\int_{0}^{+\infty} x^{3}e^{-2x}dx$ 转化为更简单的形式。首先，设 $u = x^{3}$，$dv = e^{-2x}dx$，则 $du = 3x^{2}dx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} x^{3}e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}x^{3}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} + \frac{3}{2}\int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-2x}dx
$$
步骤 2：计算边界项
计算边界项 $-\frac{1}{2}x^{3}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty}$。当 $x \to +\infty$ 时，$x^{3}e^{-2x} \to 0$，当 $x = 0$ 时，$x^{3}e^{-2x} = 0$。因此，边界项为 $0$。
步骤 3：递归应用分部积分法
对 $\int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-2x}dx$ 再次应用分部积分法，设 $u = x^{2}$，$dv = e^{-2x}dx$，则 $du = 2xdx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。根据分部积分公式，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}x^{2}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} xe^{-2x}dx
$$
步骤 4：计算边界项
计算边界项 $-\frac{1}{2}x^{2}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty}$。当 $x \to +\infty$ 时，$x^{2}e^{-2x} \to 0$，当 $x = 0$ 时，$x^{2}e^{-2x} = 0$。因此，边界项为 $0$。
步骤 5：递归应用分部积分法
对 $\int_{0}^{+\infty} xe^{-2x}dx$ 再次应用分部积分法，设 $u = x$，$dv = e^{-2x}dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。根据分部积分公式，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} xe^{-2x}dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} + \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}dx
$$
步骤 6：计算边界项
计算边界项 $-\frac{1}{2}xe^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty}$。当 $x \to +\infty$ 时，$xe^{-2x} \to 0$，当 $x = 0$ 时，$xe^{-2x} = 0$。因此，边界项为 $0$。
步骤 7：计算剩余积分
计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}dx$。这是一个标准的指数函数积分，结果为：
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} = \frac{1}{2}
$$
步骤 8：组合结果
将所有步骤的结果组合起来，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} x^{3}e^{-2x}dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}
$$
使用分部积分法，将积分 $\int_{0}^{+\infty} x^{3}e^{-2x}dx$ 转化为更简单的形式。首先，设 $u = x^{3}$，$dv = e^{-2x}dx$，则 $du = 3x^{2}dx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} x^{3}e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}x^{3}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} + \frac{3}{2}\int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-2x}dx
$$
步骤 2：计算边界项
计算边界项 $-\frac{1}{2}x^{3}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty}$。当 $x \to +\infty$ 时，$x^{3}e^{-2x} \to 0$，当 $x = 0$ 时，$x^{3}e^{-2x} = 0$。因此，边界项为 $0$。
步骤 3：递归应用分部积分法
对 $\int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-2x}dx$ 再次应用分部积分法，设 $u = x^{2}$，$dv = e^{-2x}dx$，则 $du = 2xdx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。根据分部积分公式，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} x^{2}e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}x^{2}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} xe^{-2x}dx
$$
步骤 4：计算边界项
计算边界项 $-\frac{1}{2}x^{2}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty}$。当 $x \to +\infty$ 时，$x^{2}e^{-2x} \to 0$，当 $x = 0$ 时，$x^{2}e^{-2x} = 0$。因此，边界项为 $0$。
步骤 5：递归应用分部积分法
对 $\int_{0}^{+\infty} xe^{-2x}dx$ 再次应用分部积分法，设 $u = x$，$dv = e^{-2x}dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$。根据分部积分公式，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} xe^{-2x}dx = -\frac{1}{2}xe^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} + \frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}dx
$$
步骤 6：计算边界项
计算边界项 $-\frac{1}{2}xe^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty}$。当 $x \to +\infty$ 时，$xe^{-2x} \to 0$，当 $x = 0$ 时，$xe^{-2x} = 0$。因此，边界项为 $0$。
步骤 7：计算剩余积分
计算 $\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}dx$。这是一个标准的指数函数积分，结果为：
$$
\int_{0}^{+\infty} e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}\Big|_{0}^{+\infty} = \frac{1}{2}
$$
步骤 8：组合结果
将所有步骤的结果组合起来，我们有：
$$
\int_{0}^{+\infty} x^{3}e^{-2x}dx = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}
$$