(int )_(1)^sqrt (3)dfrac (dx)({x)^2sqrt (1+{x)^2}};

本题考查定积分的计算，核心思路是通过三角代换简化被积函数。当被积函数中出现$\sqrt{1+x^2}$时，通常采用$x = \tan u$的代换，将根号部分转化为$\sec u$，从而简化积分形式。解题的关键在于正确执行变量替换，并准确计算积分上下限。

变量代换

设$x = \tan u$，则$dx = \sec^2 u \, du$，且当$x = 1$时，$u = \dfrac{\pi}{4}$；当$x = \sqrt{3}$时，$u = \dfrac{\pi}{3}$。

积分转换

原积分变为：
$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sec^2 u}{\tan^2 u \cdot \sec u} \, du = \int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sec u}{\tan^2 u} \, du$

化简被积函数

利用三角恒等式$\sec u = \dfrac{1}{\cos u}$和$\tan u = \dfrac{\sin u}{\cos u}$，得：
$\frac{\sec u}{\tan^2 u} = \frac{\cos u}{\sin^2 u}$

积分计算

令$t = \sin u$，则$dt = \cos u \, du$，积分变为：
$\int \frac{1}{t^2} \, dt = -\frac{1}{t} + C = -\frac{1}{\sin u} + C = -\cot u + C$

代入上下限

$\left[ -\cot u \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = -\cot \frac{\pi}{3} + \cot \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = 1 - \frac{1}{\sqrt{3}}$