题目
(7)已知随机变量X和Y相互独立, sim U(0,1) , sim U(0,2), 则 Xlt Y =-|||-__ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量X和Y的分布函数
给定 $X\sim U(0,1)$ 和 $Y\sim U(0,2)$，这意味着X和Y分别服从区间(0,1)和(0,2)上的均匀分布。因此，它们的概率密度函数分别为：
${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt x\lt 1\\ 0,\quad \text{其他} \end{matrix} \right.$
${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\lt y\lt 2\\ 0,\quad \text{其他} \end{matrix} \right.$
步骤 2：计算联合概率密度函数
由于X和Y相互独立，联合概率密度函数为：
$f(x,y)={f}_{x}(x){f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\lt x\lt 1,\quad 0\lt y\lt 2\\ 0,\quad \text{其他} \end{matrix} \right.$
步骤 3：计算 $P\{ X\lt Y\}$
$P\{ X\lt Y\} ={\iint }_{x\lt y}f(x,y)dxdy$
$=\int_{0}^{1}\int_{x}^{2}\dfrac {1}{2}dydx$
$=\int_{0}^{1}\dfrac {1}{2}(2-x)dx$
$=\dfrac {1}{2}\int_{0}^{1}(2-x)dx$
$=\dfrac {1}{2}\left [ 2x-\dfrac {x^{2}}{2} \right ]_{0}^{1}$
$=\dfrac {1}{2}\left ( 2-\dfrac {1}{2} \right )$
$=\dfrac {3}{4}$
给定 $X\sim U(0,1)$ 和 $Y\sim U(0,2)$，这意味着X和Y分别服从区间(0,1)和(0,2)上的均匀分布。因此，它们的概率密度函数分别为：
${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 1,\quad 0\lt x\lt 1\\ 0,\quad \text{其他} \end{matrix} \right.$
${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\lt y\lt 2\\ 0,\quad \text{其他} \end{matrix} \right.$
步骤 2：计算联合概率密度函数
由于X和Y相互独立，联合概率密度函数为：
$f(x,y)={f}_{x}(x){f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},\quad 0\lt x\lt 1,\quad 0\lt y\lt 2\\ 0,\quad \text{其他} \end{matrix} \right.$
步骤 3：计算 $P\{ X\lt Y\}$
$P\{ X\lt Y\} ={\iint }_{x\lt y}f(x,y)dxdy$
$=\int_{0}^{1}\int_{x}^{2}\dfrac {1}{2}dydx$
$=\int_{0}^{1}\dfrac {1}{2}(2-x)dx$
$=\dfrac {1}{2}\int_{0}^{1}(2-x)dx$
$=\dfrac {1}{2}\left [ 2x-\dfrac {x^{2}}{2} \right ]_{0}^{1}$
$=\dfrac {1}{2}\left ( 2-\dfrac {1}{2} \right )$
$=\dfrac {3}{4}$